一题多解理解学生分层讲评

☉江苏省常熟市兴隆中学张建良

一、题目呈现

（2018年苏州市中考试题）如图1，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点D在直线l上，小明从A出发，沿公路l向西走了若干米后到达E处，然后转身沿EB方向走向F处，接着又改变方向沿射线FC走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到A处，设AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图2所示.

（1）求图2中线段MN所在直线的函数表达式.

（2）试问：小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由.

图1

图2

二、三种解法

解析：（1）线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200.

（2）思路：将EB、FB、FC、CG都用含x的代数式表示，再分类讨论建立方程求x的值.

至此，这个题目“数大”“式长”的气质给了学生第一次感官上的震撼.但为了研究△EFG是否构成等腰三角形就需要表示相关线段的长.

解法1：直接分类，不问西东.

对△EFG分以下三种情况讨论：

①当EG=EF时，得△EFG是等腰三角形.

在这样一个解题过程中，所调动的思维量不大，首先BE、CG可利用勾股定理用含x的式子表示，顺着这样的思路再利用相似三角形的性质将线段FB、FC也用含x的式子表示.接下去就可以按常规方法进行分类，根据“等腰”条件要求建立方程，计算出x的值.此处的难点并不是能不能列出方程，而是能不能顺利求出未知数x的值.当然，这样的解题方法并不是命题组希望看到的，因为整个解答过程没有了思维的简洁性和灵活性.

解法2：转化对象，声东击西.

由BC∥AD，得△FBC △FEG，所以当△FBC是一个等腰三角形时，可知△EFG也是一个等腰三角形.因此对△FBC分以下三种情况进行讨论.

学生在遇见眼前“繁杂”的方程时，自然想到了“转化”这一思维方法，展示“声东击西”的思维策略.此处的思维优势就是通过转换，转到另一个研究对象上实现减少计算量.如果出现这样一个解答过程，那么考查了学生灵活转化问题的思维和一定的计算能力.以上两种解法呈现“小思维、大计算”的格局，那么有没有“大思维、小计算”的解决方案呢？

解法3：线段转化，简洁灵动.

①当EF=EG时，得△EFG是等腰三角形.

由EF=EG，得∠G=∠F.

由BC∥AD，得∠G=∠BCF.

则∠BCF=∠F，则BF=BC=100.

由EF=EG=EA+GA=x+y=2x+200，得EB=EF-BF=2x+100.

在Rt△AEB中，EB2=AE2+EB2，则（2x+100）2=x2+1002，解得（舍去）.

②当GE=GF时，得△EFG是等腰三角形.

同①，得CF=CB=100.

在Rt△GCD中，GC2=GD2+DC2，则（2x+100）2=（x+100）2+1002，解得x=

1（不合题意，舍去）.

（3）当FE=FG时，得△EFG是等腰三角形.

连接CE.

由ED=GD=x+100，∠ADC=90°，得CD是EG的中垂线，则CE=CG，则∠CEG=∠G，则∠FEG≠∠G.则不存在x，使FE=FG，即不构成等腰三角形EFG.

在这样的一个解法中，一没有用到相似三角形的性质，二没有列出带根号的方程，所以解题过程呈现出“小清新”，有一种四两拨千斤的感觉.这样的解题风格是建立在两次线段转化的基础上实现的，解题过程展示出了一个学生所具备的优秀的数学思维品质.

三、解法评讲

上面三种解法有相似的地方，但更多地体现了不同的解题数学思维水平.第一种解法思维水准一般，只是从解决问题的思路出发，单刀直入，虽直接但费时费力.第二种解法思维水准中等，通过一次转化所列出的方程相对变得简单，降低了不少计算量.第三种解法思维水准上等，通过两次转化“腰”的数据，列出整式方程，计算顺畅.当然学生正确解答都会得满分，但事实上这样一个考题确实考查出了学生的不同层次的数学思维水平.

如果要评讲这样一个试题，作为教师又该如何选择呢？选择解法1，则想少算多；选择解法2，则想不多算不多；选择解法3，则想多算少.面对一个班级中不同学习水平的学生，该如何选择是一个数学教师必须思考明白的问题.

教师选择哪一个解题方法进行讲评，应该做好以下三个方面的准备，即理解题目、理解目的、理解学生.

理解题目就是明确题目中要求什么，它属于什么知识范畴，目前已知条件是什么，已知和未知之间缺少什么关联，确定大致的解决方案.

理解目的也就是教师看到题目，首先，弄清题目所涉及的内容及解答过程中所需要的思维水平和运算能力等；其次，厘清命制该题的目的和意图.比如，该题考查内容：一是勾股定理，二是方程建模，三是分类讨论，四是转化思想.

理解学生也就是要在评讲前准确把握班级中学生的学习状况，要看到班级中大多数学生的思维水平和解题思路，还要看题目是出现在学习新知识的复习阶段还是中考复习阶段，不同的阶段自然会选择不同的解答途径.一题有多解但还需一题有优解，什么是优解？不是教师感觉好的、技术含量高的解法，而是学生能理解、能听得懂的常规解法，这样的解法应该最贴近学生当前的思维状态和解题能力，其他解法可能只能是锦上添花，使不同的学生获得不同的解题体验.

以该题为例，解法1思维起点不高但运算繁；解法3思维要求高，但运算简单，特别是其中利用隐藏的中垂线讨论更是思维出众.为此，教师在讲评时更应该贴近学生已有的解题思维和经验进行讲解，避免因为计算量大的问题造成对思考出的解题思路产生怀疑或否定.当然可以将解法1作为引子激发学生积极思考寻找更简洁的解法2，让学生感受计算也是一门技术，寻找简单解法也是一份数学念想.

四、教学启示

解题中有时会出现思维易但不易算的方法和计算易但思维灵活的方法，如果遇到这两类方法，那么教师如何选择适合大部分学生的解题方法进行讲评教学呢？先看下面一个考题.

如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=6，AC=8，点P从点B出发沿斜边BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位长度.点D从点A出发沿AB向点B匀速运动，速度为每秒3个单位长度.过点P作PM⊥BC于M，作PN⊥AC于点N.点P与点D同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s），当其中一个点先到达终点时，另一个点也随之停止运动.

（1）当点P与点D相遇时，t=_____；

（2）当点P与点D相遇后，若线段CD与MN相等，求t的值.

在解第（2）题时，有两种解法：

解法1：如图4，作DH⊥BC于H.

图3

图4

解法2：如图4，连接CP，作CQ⊥AB于Q.

通过两个解法的呈现，对上面提出的问题可以给出以下说明.学生在试卷上作答时用第一种解法比较多，直接使用CD2=MN2作为相等关系，然后分别找出CD、MN所在的Rt△CDH和Rt△PMN，再把这两个三角形的各条直角边用含t的表达式表示出来，方程易列但学生在进入计算环节后往往败下阵来，所以有教师抓住这一点，在上课时会说，这么繁的计算你还想算吗？潜台词就是说你思维不够灵活.但不能有时因为计算复杂就成为教师嫌弃的理由，其实计算下去不断接近目标是对自己思维的一种肯定，计算过程其实是对自己克服困难的一种态度，计算结果正确其实是对自己的一种激励.在习题评讲教学中，“重”思维、“轻”计算是我们数学教师不能视而不见的一个不好的现象.有时烦琐一点的计算中需要化繁为简的数学智慧，也是一次提升学生计算能力的途径，避免出现想的对却做不对的局面.

解题教学是数学教学中的主旋律，学生因会做题而爱数学，学生也因不会做题而不喜欢数学.大多数学生想到的方法应该是离学生思维状态最近的想法，在这一状态下学习的学生容易接受和理解教师的所思所讲，跳一跳能找到解题思路，在这样的基础上和学生进行讲评收获会最有成效.作为数学教师，不应把自己心中的好方法、新思路毫无选择地传授给学生，而应通过批阅和交流手段收集到“群众的声音”，不断贴近学生的思维找到适合当前学生的解法讲评.因此，如何进行基于学生思维状态下的解题评讲教学是摆在我们每一位数学教师面前的课题.