基于几何直观的初中代数教学思考

☉江苏省苏州工业园区星湖学校毛兴明

几何直观是一种重要的数学研究思路，指人们根据图像对问题进行描述和分析.几何直观的运用可以促成复杂问题的简化，有助于学生对问题产生更加形象、简明的认识，这样的操作有助于学生更快地探明问题的解析思路，并预测结果.在初中代数教学过程中，教师引导学生对相关内容进行转化，以几何直观为载体，促进学生理解相关内容，不但有助于学生理解代数知识，同时他们的直观想象能力也会得到发展，这正是数学核心素养培养的重要方面.

一、有效引导，培养学生结合图像思考代数问题的习惯

对学生的代数学习而言，正确的习惯非常重要，教师要引导学生充分经历将代数问题翻译为图形问题的过程，同时要引导学生体会如此操作让问题变得更加简化的事实.一旦学生发现，一些直接处理起来比较麻烦的代数问题，在几何图形的帮助下，就实现了高效解决，学生将产生自发进行转化和研究的意识.

在实际操作中，学生首先要明确所要研究的代数问题的内容，教师再引导他们将对应问题与图形衔接起来，将代数问题中所涉及的研究对象以图形的方式直观表达出来.然后，学生需要研究图形间的联系，藉此发现问题解决的突破口，探明问题解决的思路.学生将在上述过程中体验到利用几何直观处理代数问题的优势，进而养成一种与之匹配的问题分析习惯.

比如，有这样一个问题，已知两个一次函数l1∶y1=x+2和l2∶y2=-x+4，两条线相交于点A（1，3），试问：如果要让y1＞y2，则x的取值范围是什么？

面对这样的问题，教师应该引导学生在头脑中勾勒出这两个一次函数的图像，这一步是让学生形成最基本的构图意识，然后要求学生在直角坐标系中将图像绘制出来，随后学生将通过对图1的观察，得出结论：当x大于1时，直线l1处在l2的上方，相应的取值范围也就由此而被确定.

在上述过程中，学生的思考过程要比绘图过程重要得多，因为只有科学的思维才能将代数研究的对象与直观图形联系起来，由此推动代数问题的图形化.当然，绘图过程也相当重要，这能让学生形成更加形象化的处理，减轻学生抽象思维的负担，学生的分析和研究也能有所依据.

图1

二、结合几何图形，研究代数问题中的逻辑关系

初中数学教师引导学生将代数问题转化为几何图形，并且由图形产生直观思维，这样可以让学生的思维更加形象、直观.但同时，教师要启发学生在此基础上展开理性思考，探求相关图形的逻辑关系，这样处理有助于学生发现问题解决的本质.

比如，有这样一个例子：市区组织各个学校进行排球联赛，比赛以循环赛的模式进行，即每支队伍都要跟其他学校的球队进行一场比赛，如果已知参加联赛的排球队一共有n（n≥2）支，请问：一共要发生多少场比赛？

这个问题的处理，要求学生不但能画出对应的图形，还能够通过图形将其中的逻辑关系梳理清楚.在探讨各个球队比赛场次的问题时，我们可以用点代表球队，以点和点之间的连线代表球队之间要进行的比赛，这样最终要确定的比赛场次也就对应着线段总的条数.

图2

随后学生结合几何图形研究和分析问题，又由于这个问题中的球队支数是以字母表示的，这也就对应着一个探寻规律的问题，学生可以依次将n设定为2、3、4、…，由此得出如图2所示的点与线段的关系，并结合n的不同取值，得出比赛场次，并最终得出总的规律.

如果n取2，即只有2支球队比赛，对阵关系如图2a所示，2个点之间只有1条线段，因此需要进行1场比赛.

如果n取3，即有3支球队比赛，对阵关系如图2b所示，3个点之间有3条线段，因此需要进行3场比赛.

如果n取4，即有4支球队比赛，对阵关系如图2c所示，4个点之间有6条线段，因此需要进行6场比赛.

如果n取5，即有5支球队比赛，对阵关系如图2d所示，5个点之间有10条线段，因此需要进行10场比赛.

学生对上述几幅图展开比较和探索，在此基础上研究比赛场次和n的取值之间的逻辑关系.这一过程要求学生能够多方位展开思考，才能在错综复杂的数据中提炼出简洁且明确的数量关系.笔者认为，这一过程最能激活学生的思维，同时是最能向学生展现思维力量的时候.该阶段最适合让学生将自主学习和合作学习搭配进行，让学生在相互讨论中获得启发.学生很快发现，每个点都会与其他点发生连线关系，但同时每条线都参与了两次连线过程，所以如果有n个点，则每个点都会产生（n-1）条连线，如此一共产生了n（n-1）条连线，再考虑到每根线都产生了两次，也就是最后的结果要除以2，即一共发生的比赛场次应该是

三、重视实践操作，重构几何图形

在代数学习的过程中，我们经常发现，对于一个代数问题，如果直接处理，则很容易陷入僵局，但是如果换一下思路，则可能产生意想不到的效果.类似地，如果我们采用几何直观的思维处理某些问题，无法得到满意的答案，而通过实践操作，对图形进行适当变换，往往会让人原先被卡住的思维恢复畅通.

比如，研究圆柱体的侧面积时，由于这是一个弯曲面，直接求解非常困难，但是我们把圆柱的侧面彻底展开，这样就可以把这个曲面转变为学生所熟悉的平面图形——矩形，圆柱体的高和圆柱体底面的周长就分别对应着圆柱体的宽和长.

再比如，这样一个问题：现有如图3a所示的四边形ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E，如果已知AE的长度为10，求原四边形的面积.

学生在处理这个问题时，大多会从分割的方法着手，将原先的这个四边形分割成直角梯形ABCE和直角三角形ADE，只要将这两个特殊图形的面积求解出来了，问题也就彻底解决了，但是，题目中只给出了AE这条边的长度，因此这条路无法走下去.

图3

怎么办呢？几何直观要求学生能够通过自己的操作不断试探，进而将规律混乱的图形转化为熟悉而简单的图形，促使题目的简化处理.这个问题最终的处理只要将图3b中的直角三角形ADE裁剪下来，拼凑到图中虚线的位置，学生将很容易地得到一个边长为10的正方形，整个图形的面积在这个过程中没有发生变化，因此可以确定原先四边形的面积是100.

当我们引导学生采用几何直观的方法构建思路处理问题时，务必要让学生重视实际操作的过程，很多时候问题与答案也就是一线之隔，学生如果卡在某处犹豫不决，只会让他们浪费时间，在无法收获的同时厌倦了对数学问题的探究.越是遇到这样的情况，就越要关注学生意志品格的走向.所以在日常教学中，教师不但要注意知识和方法的教学，也要通过一些难题训练学生的耐受能力，锻炼他们的意志.

总之，在初中代数教学过程中，教师要引导学生展开思考和探讨，将几何直观纳入代数问题的探究过程中，由此提升他们的探究效率，也培养与此相关的能力.