几何建模：学生高质量思考的方式

☉江苏省无锡市侨谊实验中学刘丹丹

☉江苏省无锡市侨谊实验中学成宏乔

自《义务教育数学课程标准（2011年版）》将模型思想作为十个核心概念之一提出后，教师对模型思想运用和渗透的研究更加深入，在日常的教学中也经常灌输，但对学生而言，建立数学模型（尤其是几何建模）难度很大，体会和理解模型思想需要知识和经验的积累.本文就结合一些例题谈谈对几何建模教学的几点思考.

一、几何建模的常见方式

图1

1.基于“基本事实”进行模型创建

例1如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是_______.

本题的几何背景是菱形，根据对称性，可将线段BP转化为线段DP，从而求线段DP＋EP的最小值.由“两点之间，线段最短”，可知当D、P、E在同一条直线上时，所求和最短.若取线段AD的中点M，将线段EP转化成线段MP，同样可以求解.

本题是典型的“将军饮马”问题，学生对此模型比较熟悉，有不少学生很快就能完成，但是询问学生“为什么这么做”时，学生基本上答不上来，解决本题主要依靠解题经验，即“题海战”的成果.甚至有教师在教学时根据题目的条件“有两个定点和一个动点”，从而把这种模型称为“两定一动”，以至于还有“一定两动”“两定两动”等模型.建议教师在进行解题教学时，还是要考虑问题的本质属性.对于本题，可以引导学生通过对称转化，直观地构建“线段”.在教学中，如果对构建“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个模型进行分析、比较，学生可以更清晰地认识到它们的区别，提升建立模型的能力.

图2

2.基于“定理”进行模型创建

例2如图2，在Rt△ABC中，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.

本题由条件“AB⊥BC”和“∠PAB=∠PBC”可得∠APB=90°，由圆周角定理“90°的圆周角所对的弦是直径”构造圆，再根据直线外一点与圆上各点的关系确定CP的最小值.或作AB边上的中线PM，得到△PMC，再用“三角形任意两边之和大于第三边”解决.

本题难度较大，上述两种方法均需“构造”出数学模型，主要让学生运用好间接条件“直角”，而在初中数学里，与“直角”有关的数学知识较多，如何使学生通过思考、判断，运用上述方法解决是难点.对于一些学习能力较强的学生，教师可以给他们思考的时间，让他们自己去体会和构造.而对于学习能力一般的学生，在做本题时，教师需做好知识铺垫，与学生一起“回忆”直角的知识，然后进行模型构造.

图3

3.基于“定义”进行模型创建

例3如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值.

本题由于图形翻折，得到结论AM=DM=A′M，根据圆的定义“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，从而构造圆.或者构造△CMA′，由于线段MA′和CM的长度确定，可以运用三角形三边关系的知识解决.

深入理解数学定义尤为重要，是学生学习数学的基础.翻折作为全等变换的一种，学生可从中得到很多信息，如全等、对称等，教学中，引导学生在众多的信息中找出“AM=A′M”是解题的关键.应该根据条件之间的关系进行思考，结合条件“点M是AD边的中点”，得到“AM=DM”，因为这两个结论均和线段AM有关，所以联系起来的可能性很大.运用数学模型解决问题中最关键的一步就是建立正确、合理的数学模型，这需要在繁多的条件及复杂的关系中找出最基本的特征和规律，并用最简单、最基本的方式刻画出来.

4.基于“常见图形、特定方法”进行模型创建

例4 （1）如图4，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；

图4

图5

（2）如图5，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长.

本题第（1）问考查学生的阅读理解能力及作图水平，由等边三角形边角的相等关系，通过“SAS”可得△ADC≌△ABE，进而得到BE=CD.第（2）问中由隐含条件“AC=AB；∠CAB=90°”，再联系第（1）问的解法，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，线段BD转化成CE，在Rt△CDE中，运用勾股定理求出线段CE（即BD）的长.

由两个有公共端点的等边三角形构造出全等模型，即“手拉手三角形”模型，该模型比较常见，大多数学生能轻松解决.在第（2）问中，思维要求较高，首先根据“∠ABC=∠ACB=45°”得到等腰三角形，有了可以旋转的条件，按照第（1）问的解题方法构造“手拉手三角形”模型.这样的解题方式和思考方法受到老师们的青睐，在很多数学题中有所涉及，它主要考查学生的思维逻辑及模型思想，从“建”模型到“用”模型，对学生而言，是思维上质的飞跃，长此以往，学生的创新能力及解决问题的能力会大幅度提升.

二、几何建模的教学建议

1.明确并落实教学目标

几何建模由于形式灵活、问题开放，在教学实施过程中首先要制定好教学目标，充分考虑学生已有水平进行备课，建模是一种高阶的思考方法，对学生而言要求不低，教学中需要学生理解、感悟，教学设计中应充分实现“师生交流”“生生交流”，通过交互式教学让学生“想一想”“跳一跳”，获得知识及兴趣.对于每个学段的学生，教学要求需有差异.基于学生的学习能力设计课堂教学，多一些有质量的思考，切实提升学生的数学素养.几何建模的教学也要避免重复训练，多一些思考方法的传授，才是聪明的教学.如在上述例题中，让学生感受到线段和最小值的问题往往通过对称将图形“拉直”；而定点与动点之间的距离则需探索动点所形成的轨迹，从而才能进一步解决问题.这些都是通过“思考”形成的“方法”，就是数学素养，这才是数学教学的追求.

2.灵活运用数学基本模型

数学基本模型很多，像使用方程模型、函数模型、概率模型等解决问题还“有迹可循”，但几何模型的问题比较独立，甚至一种思考方法就可以编制一道试题，正因为此，我们在教学过程中要考虑学生的负担，把基本模型使用好，不能一味地提升难度，学生解题水平取决于对知识本质的理解.在日常几何模型教学中，我们应以图形的性质、定义、定理及基本事实为主.如例3中，模型“圆”的出现不是因为翻折，而是翻折过程中的结论AM=DM=A′M，根据圆的定义得到的.因为翻折的结论有很多，如对称、全等、等腰三角形……如果要全部记住，学生还有什么精力学习更有意义的事呢？更有甚者，有教师在平时的教学中给学生传授“12345”“阿氏圆”等高难度模型，个人认为，这些内容老师研究即可，对大多数学生而言，这些内容不会提升他们的数学水平，只会让他们对数学“望而却步”.

图6

3.以学生课堂收获衡量教学

几何建模的理解和运用对学生而言，思维要求较高.在平时的教学中，教师所做的不仅仅是通过讲解让学生听懂，仅仅学会模仿远远不够，在“深度学习”“能力为重”的教学评价的背景下，我们的数学课堂要“活”，衡量课堂教学效果的好或不好，主要是看学生收获多少、提升多少.模型教学不是传授给学生“套路”，要应该传授“解题方法”和“数学思想”，尤其在高年级的教学实施中，需要少一些机械模仿，多一些创新思考，甚至要故意打破表面的“模型”，探究数学的本质.如在完成例1后，可以让学生完成下题：如图6，P为正方形ABCD的对角线BD上一动点，若AB=2，求AP+BP+CP的最小值.本题的背景还是求线段和的最值，但解决的方法不是通过对称转化，而是通过旋转变换进行线段的转化，但本质还是运用“两点之间，线段最短”，且难度不小，可作为一节课思维的“高潮”，在学生学会“模型”后解决才有一定的价值，这才真是高质量的创新和思考.

三、写在最后

数学建模教学既是课程发展的需要，也是课堂实施的需求.数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程.在几何模型教学中，建立几何模型的能力取决于对数学的理解，这种思维方式可以内化为学生解决问题的能力.对学生而言，这方面的学习很难，教学中要经常渗透，需引导学生认真体会、思考.几何建模教学中，要让学生主动参与和积极思考，这样可以缓解“教”与“学”的矛盾，在激发学生“学”的同时，还需关注学生应用意识和创新意识的提升.

需要再次表述的是：基础教学不是竞赛培训，不能一味地提升难度，基本思想、基本方法更需要认真对待、慎重处理，这样才能用好“基本模型”.另外，在上述一些例题中，缺少了实际背景，也就少了“找”的过程，考虑到字数，本文呈现的更多的是根据条件“构造”模型的过程.

几何建模思想的渗透是一个长期的过程，需要一线教师坚守，才能提升学生数学建模的水平，真正地实现从“思考”到“创造”.F