基于案例分析的初中数学概念教学模式研究

☉江苏省南京市浦厂中学陈华

反映数学对象的本质属性并概括客观事物的数量关系、空间形式及结构关系的理论即为数学概念，彼此联系并因为逻辑关联而构成的理论是数学大厦的基石，一切数学定理与法则都是在数学概念的逻辑基础上得以形成与发展的.也就是说，数学定理与法则都是在数学概念这一支点的作用下发挥其价值的.由此可见，数学概念的理解对于数学知识的掌握、数学判断与推理来说是必要的前提.因此，教师应着眼于数学概念的理解落实教学，以促进学生自主学习能力与解题能力的真正提升，将概念教学作为数学教学的重中之重，并帮助学生对数学本质形成独到而深刻的理解.

概念的表达形式在数学教学中是可以忽视的，不过，概念实质上的内涵与外延的忽略却是万万不可的.因此，教师在具体教学中，应关注概念的引入、概念的理解、概念的拓展及概念的应用这四个方面.本文结合“二次根式”这一内容对上述四个方面进行具体的思考与阐述.

一、概念的引入

【片段1】

提示问题1：观察以下式子的特点并进行分组：

生：-3a2b3c、2m+1、x2-3xy+2y2.

师：将这三个式子放在一组有何理由呢？

生：都是整式，-3a2b3c是单项式，2m+1和x2-3xy+2y2是多项式.

师：大家观察力很强，按照整式、分式与含有二次根号的特点将上述式子分成了三组，不过第三组的名称我们还不清楚.在以前的学习中，我们遇到过类似问题吗？

提示问题2：如何用式子将以下问题中所求的量表示出来呢？

（1）正方形的边长为1，其对角线的长为多少？

（2）圆的面积为S，其半径为多少？

（3）直角三角形的两直角边长分别为a、b，其斜边为多少？

（4）一物体从h（m）高的地方落下需要的时间为t（s），且满足h=5t2，如何用h表示t呢？

学生在独立思考后给出答案：

师：我们以前学习过数的算术平方根，数的算术平方根又如何过渡到式的算术平方根呢？这就是我们今天要学习的内容.

借助数学问题与实际问题引入二次根式这一概念的方式令学生很快明了了这一概念的重要性与必要性，学生在明确认知任务的同时会产生更加强烈的认知需求.教师对这一概念的逐步引入也令学生对概念的理解更为深入.

二、概念的理解

【片段2】

师：我们今天学习了二次根式，大家结合之前学过的整式、分式来思考一下二次根式最显著的特点吧.

生：有二次根号.

全体学生哄堂大笑.

师：大家笑什么？

生：这个答案显而易见，等于没有回答.

师：尊重他人是我们每个人都必须学会的，同学们，这个同学的回答虽然浅显，但并不像我们所理解的回答与不回答没有区别，当然，如果这个同学能将二次根号的性质或要求表达出来，回答就显得有深度了.

生：（举手，表现得很急切）老师，被开方数不能小于0.

师：为什么？

生：因为负数没有平方根.

引导学生在获得概念之后对其进行去粗存精、由表及里的思维加工，并对概念的内涵进行抽象化与形式化，能使学生廓清概念外延的同时知其所以然并促进对概念的深化理解.

三、概念的拓展

【片段3】

生：有的，运算的顺序不同.

生：不过从两式的运算结果来看两者没有区别，虽然它们的表达形式是不一样的（.其他学生表示赞同）

师：那么，大家得出的结论就是形式上是有区别的，不过结果没有区别，对不对？

学生思考了片刻.

学生思路的开阔、智力的开发、对知识的理解、探究的热情都会因为数学概念的适度拓展而一一实现.不过，值得教师注意的是，那些盲目超脱课程标准与教材的行为是极不科学的，教师应根据教材内容的特点及学生的能力进行知识点的挖掘与拓展，盲目拔高或加深对于学生概念体系的顺利建构是会有很大负面影响的.

四、概念的应用

【片段4】

出示例题：观察以下代数式，并考虑其可否作为二次根式的被开方数.若可以，请尝试求出字母的取值范围；若不能求出，请尝试说明理由.

生：a2+1始终是非负数，因此，a2+1也是可以的，a可取任意实数.

生：-2a2-1是无法成为二次根式的被开方数的，因为-2a2-1始终是个负数.

师：很好，大家始终能够紧紧抓住 二次根式这一概念的本质进行解题，由此可见，大家对这一概念的理解还是比较到位的.大家再来思考下面的问题.

师：解决此题主要借助的是什么知识呢？

生：二次根式和完全平方式都是非负数这两个知识点是解决此题的根本，根据非负数之和等于0可以推断出各加数都等于0，再建立方程组令此题得解.

师：归纳得很到位！同学们应该在上述两个例题的解决中感受到了二次根式的基本特征在解题中的具体应用，大家在以后的解题中也要像今天我们这样进行解题并及时反思与总结，相信大家一定能积累更多的解题经验并逐渐提升自主解题的能力.

概念的形成过程从思维方式这一角度来看可以说是一个聚敛性思维的过程，而概念的应用则表现得与之相对，是锻炼学生发散性思维的过程.理解概念、掌握概念、应用概念这一过程应该说是一个积极思考、体会与感悟的过程，教师在具体教学中可以借助问题来巩固概念并在这一过程中形成更多的动态生成，使学生能够在概念的正用、反用、变用过程中准确攫取问题的本质特征并对概念的理解进行升华.