基于核心素养的“回顾与思考”课型案例分析与反思——以“二元一次方程组复习与回顾”为例

☉甘肃省张掖市第三中学李永明

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验.”“回顾与思考”课型如何体现新课程的这一教学理念呢？如何创新教学方法，改变学习方式，提高复习课的效率呢？又如何将学生的核心素养培育融入在课堂教学中？如何将核心素养的理念融入教学设计中？笔者以“一师一优课”部级优课北师大版义务教育教科书数学八年级上册第五章“二元一次方程组复习与回顾”为例，围绕本案例的主线“一题多解，逆向编题”，对基于核心素养的“回顾与思考”课型案例进行分析.现拙文呈现其过程，与同行交流.

一、教材分析

1.学生起点分析

学生已经学习了二元一次方程（组）及其相关概念，掌握了用代入消元法、加减消元法来解二元一次方程组及三元一次方程组，具备了用二元一次方程组解决实际问题的基本技能.在前面的学习过程中，学生从用方程（组）模型解决一些实际问题的过程中，感受到方程（组）模型的重要性，获得用方程（组）解决实际问题必须在一些数学活动经验的基础上，同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习和回顾与思考的过程，具有一定的复习与回顾旧知的经验.

2.教学目标分析

本节内容为本章的回顾与反思.通过这节课的学习，让学生经历合作学习和回顾与思考的过程，提炼、构建知识体系，画出知识结构体系图，尝试解决问题，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活，具有一定的复习与回顾旧知的经验.让学生感受复习与巩固的重要性.通过一题多解、逆向编题，能熟练、准确解二（三）元一次方程组，会用二（三）元一次方程组解决实际问题.能熟练掌握体会二元一次方程组与一次函数的关系.能够把握各知识点间的联系，进一步感受方程（组）模型的重要性.能在现实问题中，找到等量关系，并把它们转化成方程组.感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学结构图解决问题的良好习惯，同时培养学生的符号化、模型化、消元、化归、数学运算、直观想象、应用意识和创新意识等核心素养.

3.教学内容分析

本课例设计了四个教学环节：环节1，构建知识网络，展示优秀成果；环节2，一题多解，展示解法和思路；环节3，逆向编题展示成果；环节4，课堂小结.

环节1：构建知识网络，展示优秀成果.

展示整理、归纳的知识结构图.让学生初步直观地感知本节课的知识结构，如条形、树状、网状结构图等，这是一种动手实验操作，培养学生的直观想象和创新意识等素养.

环节2：一题多解，展示解法和思路.

让学生把方程组化简整理后用代入法和加减消元法解，体会化归思想.通过学生的交流、教师的引导，发现还可以用换元法、直接换元、把前面的看成整体直接用加减法、化解后用图像法等多种方法.

环节3：逆向编题.

让学生经历由解到实际问题的逆向过程，感知“0+0”、行程、工程等问题，都可以直接由解直接转化，感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，培养学生的符号化、模型化、应用和创新意识等核心素养.

环节4：课堂小结.

围绕问题，师生共同总结本节课的收获.让学生看到自己的进步，激励学生，使学生相信自己在今后的学习中不断进步，同时培养学生形成良好的反思习惯.

二、教学实践

1.完善认知结构，培养学生的几何直观

引入：同学们，今天一起来复习二元一次方程组这一章的内容，昨天我已经请大家整理、归纳了这一章的知识结构，哪一组的同学展示一下你们组的成果？

生1：我们小组是按课本知识的先后顺序整理的……

生2：我们小组是按课本知识由易到难的顺序整理的……

生3：我们小组是以树状图的形式整理的……

生4：我们小组是以网状图的形式整理的……

……

学生把小组内最优秀的作品贴在了黑板上，并进行了讲解.

师：同学们从不同的角度进行了归类整理，很不错.哪个小组讲解一下你们的设计思路和亮点？

……

师：每个小组都评选出最优秀的作品，展示在黑板上，并展示了设计思路和亮点，下面老师展示本章知识结构图.（如图1）

图1

2.一题多解，培养学生的运算能力和模型思想

师：现在我们来看下面的一个例子.

（学生解题，小组内讨论交流，教师巡视指导）

师：我看同学们都已经得出了方程组的解，现在请各组展示你们的优秀解法，在展示时要求与别人的解法不相同.

生5：去分母，把方程组化简整理后，用代入法和加减消元法求解.

生6：换元法.

生7：直接换元.

师：太棒了，还有没有其他解法？

生8：把前面的看成整体，直接用加减法解.

生9：化解后用图像法解.

……

师：同学们的发言非常棒，把老师想讲的都说了，现在同学们对几种解法进行评价，看哪种解法最好.

生10：去分母，把方程组化简整理后，用代入和加减消元法解比较麻烦，用换元法解和直接换元比较简单.

生11：我觉得把前面的看成整体，直接用加减法解最简单.

生12：化解后用图像法解直观.

……

师：同学们的发言非常积极，说得也非常到位，希望每一个同学选择适合自己的方法来解.

3.逆向编题，培养学生的应用意识和创新意识

从学生的“最近发展区”入手，引导学生从方程组入手，利用加减思想，把解还原成方程组，并进行验证.

生14：老师，还可以根据等式的基本性质把①、②乘不为0的系数，再用上面的方法加减，就可组成新的任意想要的方程组.

师：好，这几位同学从解到方程的编制过程，体现了从一般到特殊的数学思想.哪位同学还有不同类型的题？

师：这是利用非负数的性质（“0+0”型问题）以填空题的形式编制的习题，还有其他类型吗？

生16：老师，我编写了图像题：图2中的两条直线AB、CD的交点的坐标可以看作方程组的解.

……

图2

学生根据本章的内容编写了许多应用型问题，如行程、工程等问题.

4.归纳小结，提升学生的核心素养

师：通过本节课的学习，哪些已遗忘的知识得到了巩固？对哪些知识有了新的认识？本章主要蕴含了哪些数学思想方法？你还有哪些疑问？围绕4个问题，总结本节课的收获.

生17：对加减消元法有了进一步的巩固，还掌握了换元法、直接换元、把前面的看成整体直接用加减法解、化解后用图像法解等多种方法，感觉一题多解让我受益非浅.

生18：解方程组除了用代数的方法，还可以用图像法.

生19：通过逆向编题，让我更加深刻地掌握了许多应用型问题.

生20：我还掌握了许多数学思想，如模型化思想、消元思想、化归思想等.

生21：我们小组的最终评价是达到了金字塔的顶层，非常兴奋，这是我们小组共同努力的结果.

……

师：同学们今天思路开阔，充分发挥和展示了你们的聪明才智.今天有四个小组达到了金字塔的顶层，祝贺你们.有两个还没有达到，希望你们下节课继续努力，争取达到金字塔的顶层.

三、教学反思

数学核心素养的本质是使学生的思维得到全面发展.更一般地，数学核心素养还包括学会学习，数学应用，创新意识，它综合体现在学生掌握和理解的知识越来越多，对数学思考的感悟越来越深入，思维能力不断提高，良好的学习习惯不断养成，人格不断健全.因此，要使学生获得全面发展，基于核心素养的数学课堂教学设计应关注以下几个方面.

1.把握核心概念，让学生参与知识产生、发展和应用的全过程

数学教学不是把结论、方法、思想直接教给学生，而是数学活动的教学，是学生参与知识产生、发展和应用的过程.所以，在教学设计的过程中，教师要紧扣教学目标，把握核心概念，引导学生自己寻求知识产生的原因，探索它与其他知识的联系，在探索过程中形成概念、寻求规律，获得结论.例如，“一题多解”的教学，可以引导学生经历如下过程.（1）一般方法.去分母化简，用加减消元法解方程组.发现比较麻烦，提出猜想：有没有更简单的方法？（2）特殊方法.通过自己观察、小组合作，发现还有换元法、直接换元、把前面的看成整体直接用加减法、化解后用图像法等这么多方法.经历了这样的过程，学生不仅能主动获取知识，而且能感悟到符号化的优越，进而可以得到整体代入、整体消元等多种解题的方法和思路.

2.精选教学例题，设计有助于学生思考的问题

例题是数学的主动脉，问题是数学的心脏.例题的选择、问题的设计要从学生的实际出发，由浅入深，阶梯式地逐步“带着学生走向课本”.选择的例题、设计的问题要让大部分学生想得出，经过1～2分（或3～5分）的思考就能解决，或者讨论一下就能解决.让学生在解决问题的过程中体会蕴含的数学思想或方法.例如，“逆向编题”的应用部分教学，以鸡兔同笼为例：鸡有8只（x=8），兔有2只（y=2）.

问题1：8只鸡和2只兔共有多少个头？多少只足？

（让学生通过简单的数值列出两个式子，感悟特殊的数学思想）

问题2：x只鸡和y只兔共有多少个头？多少只足？

（让学生通过简单的数值列出两个代数式，感悟字母可以表示数的一般过程）

问题3：x只鸡和y只兔共有10个头，24只足，问：鸡、兔各有多少只？

（通过列出方程组，引导学生感受“特殊”与“一般”的关系）

像这样，学生不仅主动地获取知识、逆向编题的思路和方法，而且能在获取知识的过程中感受符号意识、特殊与一般、模型等思想.

3.合理设计活动，让学生真正成为学习主体

《课标（2011年版）》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.”教师在设计教学方案时，要给学生留下主动参与教学活动的时间和空间，实施教案时应采用启发式教学，引导学生积极参与教学过程，发挥他们的主体作用.例如，“逆向编题”的图像法教学片段，可以组织学生讨论：根据二元一次方程与一次函数的关系，经过点（8，2）的直线有多少条？你能确定它们的解析式吗？如何确定？说出你的方法.这个问题引导学生由“形”想“数”，即由点到线，由线到一次函数，由一次函数到二元一次方程，由二元一次方程到二元一次方程组.此时，学生可以借助几何画板等工具，画出图像，根据图像分析提出的问题.

在这样的教学流程中，学生在“问题”的引导下，开展积极的思维活动.通过探索，他们不仅能获得相关的知识与技能，而且能感悟数形结合思想，积累丰富的数学活动经验，成为课堂学习真正的主体.

4.注重过程评价，激励学生积极参与活动

《课标（2011年版）》指出：“评价方式多样化体现在多种评价方法的运用上，包括书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等.在条件允许的地方，也可以采用网上交流的方式进行评价.每种评价方式都具有各自的特点，教师应结合学习内容及学生学习的特点，选择适当的评价方式.”本课例中采用了书面测验、口头测验、开放式问题、课后访谈、课内外作业、成长记录等方式进行评价，下面选择最典型的“金字塔小组评价表”进行阐述.

金字塔小组评价表是采用小组评价的方式对学生进行定量评价.在本课例中，全班分成了六个小组，每个小组平均5人，课堂中每名学生回答一次问题，给小组记一分，小组整体的成绩涨一个台阶，一般设置5个台阶（如图3），当一个小组本节课达到最顶端时，小组被评为优秀小组，成员被评为优秀成员.这样的评价，面向全体、面向每个学生，不但可以激发学生的学习兴趣，而且可以提高学生的学习信心，对促进学生的全面发展有重要的作用.

图3

四、结束语

总之，基于核心素养的“回顾与思考”课型，要以培养学生能力、促进学生发展为指导思想，遵循复习课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主学习、合作交流”的学习方式贯穿课的始终，并将评价与教学的教和学生的学有机融为一体.实践证明，复习课中，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当地运用评价的激励与促进作用，“自主探索，合作交流”的学习方式就可以充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，获得理想的复习效果.