从“光行最速”原理到“法尼亚诺”问题——基于物理问题融入HPM课例实践与思考

☉江苏省海安市李堡镇初级中学储秀梅

最近一次数学活动课上，我们基于整合不同学科教学内容的想法，从物理学科中光线反射的问题出发，引出几何中的轴对称性质的拓展应用，并链接数学史的“法尼亚诺”“问题，组织学生理解“数学难题”的证明思路，实践弗赖登塔尔“有指导的再创造”教学思想，取得了较好的教学效果.本文梳理该课教学活动与设计意图，并跟进教学立意的阐释，供研讨.

一、教学活动与预设意图

教学环节（一） 物理光线作图题

问题1：请利用平面镜成像的特点作出从光源S发出的一条光线，经平面镜发射后恰好经过A点的光路图.

图1

图2

预设意图：这个问题由物理老师提供，物理老师预设的是绝大多数学生很快就能作出图2，但物理老师也指出，在物理学科不需要学生进行证明，只要会画图就行了.所以数学课上，我们就从这个作图情境出发，先做物理史话的链接介绍，让学生认识费马光行最速原理.1657年，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：光线所行进的“光程”最短.简略地说，光行进的时间最短.由于光速不变，即光线由点S经平面镜反射后到达点A的路程最短.进一步把问题抽象成数学问题，安排学生证明费马光行最速原理.

数学问题：已知，如图3，点S、点A在直线MN同侧，点C为直线MN上任意一点.

求证：当∠SCM=∠ACN时，SC＋AC最短.

图3

图4

预设意图：引导学生在直线MN上另取一点C′，连接SC′、AC′、A′C′，比较SC′+AC′与SC＋AC的大小，利用对称性转化到△A′SC′即可实现证明.

教学环节（二） 两条“折线段”之和最短问题变式研究

问题2：如图5，AD是等边三角形ABC的边BC上的中线，点M是AD上的动点，E是AC边上一点，且AE=AC，在AD上找出点M的位置，使EM、CM之和最短.

图5

图6

教学预设：这是两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题，引导学生构造出图6即可成功解决.根据点B、C关于AD对称，可连接BE交AD于点M，连接CM、EM.此时CM+EM最小.

问题3：如图7，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°.∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点.试分析BM＋MN的最小值与边长AB的大小，并说明理由.

图7

图8

教学预设：这属于“一定点、一动点”到直线上一动点组成的线段距离和最短问题.引导学生构造出图8，即取点B关于AD的对称点B′，注意点B′恰落在边AC上，这样作B′N⊥AB于点N，交AD于点M.连接BM、MN，此时BM＋MN取得最小值.在直角三角形AB′N中，B′N小于AB′，而AB′=AB，于是BM＋MN的最小值比边长AB要小.

问题4：如图9，∠AOB=45°，它的内部有点P，在角的两边上有两点Q、R（均不同于O点），当△PQR的周长取得最小值时，试比较该最小值与OP长的大小关系.

图9

图10

教学预设：这是一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题，引导学生构造图10进行分析，分别取点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′交OA、OB于点Q、R，则△PQR的周长可转化为P′P′′的长，接着想清OP=OP′=OP′′，∠P′OP′′=2∠AOB=90°，而P′P′′在△P′OP′′中是斜边，于是可判断大小，即△PQR的周长的最小值大于OP的长.

教学环节（三）阅读理解“法尼亚诺”问题与费耶尔证法

“法尼亚诺”问题：△ABC是锐角三角形，M、N、P分别为边BC、AB、AC上的点，连接MN、NP、MP.△PMN就是△ABC的内接三角形.M、N、P三点在什么位置时，△MNP的周长最小？

图11

图12

教学预设：先介绍数学史上的所谓“法尼亚诺“问题，然后安排学生独立探究，2分钟后询问学生是否没有进展（估计这道难题学生短时间内不会有所进展）.接着向学生讲解这个问题是由意大利数学家法尼亚诺首先提出的.直到二百多年后，匈牙利科学院院士费耶尔还在柏林大学读书时，受光行最速原理的启发，运用轴对称解决了这个问题.费耶尔先构造出图12这样的示意图，具体是，先在边BC上任取一点M，过点M作直线AB、AC的对称点M′、M′′，连接AM′、AM′′、M′M′′，M′M′′与AB、AC分别交于N、P两点，此时△PMN的周长最小.接下来安排学生理解上述证法，并说明理由.

思路预设：根据对称性，引导学生想清△AM′M′′是等腰三角形，且顶角∠M′AM′′恰为∠BAC的两倍，是一个确定的角度，则等腰三角形AM′M′′的底边长就受腰长影响，而腰长AM′=AM，当AM最短时，相应的就有M′M′′最短，△PMN的周长又可转化为M′M′′的长，于是问题获得突破.AM为高时，△PMN的周长最小.

成果扩大：课后引导优秀学生继续钻研，当AM为高时，有人连接BP、CN，则它们是三角形ABC的另外两条高！这种发现有道理吗？

二、教学立意的进一步阐释

1.重视其他学科现实，适当引入数学课堂开展探究

《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于教学问题情境的创设，提出要兼顾生活现实、数学现实及其他学科现实，本文的课例就选自物理学科现实，在与物理老师共同备课期间，得知物理学科并不要求学生证明光线最短问题，只需要学生会画光路图，而数学不满足于此，需要给出证明，所以我们选择这个情境引入新课，先复习物理上画图的简单内容，然后从数学角度进行阐释和证明.

2.立足数学学科背景，抽象出数学问题或模型研究

针对当前有些教材、课堂教学过分强调创设情境导入、片面联系实际等现象，单墫教授曾直言不讳地指出：“数学课要讲数学，数学课的主要任务是教数学、学数学，是解决数学问题，而不是解决实际问题.”像上文中的课例中引入的情境虽然是物理学科的一道光线画图问题，但是在数学课上我们主要的任务是从中抽象出数学问题或数学模型，并运用轴对称性质进行解释和证明.

3.教学进程融入HPM，开展“有指导的再创造”活动

当前以华东师大汪晓勤教授领衔的HPM团队研发了很多HPM数学课例，对我国HPM课例研究的丰富起到很大推动作用.在这里有必要指出来的是，数学史上很多问题都是具有挑战性的较难题，这些较难题的解决往往推动了数学的进展.在课堂上选择这类有挑战性的数学难题、数学名题时，教师需要提前预设“有指导的再创造”教学活动，而不能任由学生独立研究.课堂教学时间有限，教师可以通过阅读理解、关键步骤的解读等方式引导学生参与理解、完善解法.当然，这也是在践行弗赖登塔尔的“有指导的再创造”教学思想.