多位数码构成的数字金字塔

周小辉

(浙江财经大学 东方学院,浙江 嘉兴 314408)

引 言

文献[1]对F.B.selkin的数字金字塔[2,3]做相应的推广，由数字1构成的数字金字塔也做了详细的讨论，并且得到了几个定理。换句话说，数字1金字塔解决对于任意整数k,[1]k×[1]k=?的问题。然后，考虑在任意整数n,m且m≠n的情形下[1]n×[1]m=?的问题，讨论了解的结构，其中符号[b]k表示一个整数是由连续k个数字b组成的[1]，例如[1]4=1111。这类正整数可称为由数字1生成的循环数。

注意：一般地，k是有限的正整数。若k取无穷大，而正整数A也是正无穷大。

在文献[1]中，对于任意n阶循环正整数[1]n，存在以下一些有用的结论。

引理1[1]任意的n∈N*，存在k,r∈N*，使得n=9k+r，(k≥0，0≤r<9)则

对于两个阶数不相等的循环正整数[1]n和[1]m，存在以下引理。

引理2[1]∀n,m∈N*，存在k,r∈N*，使得n=9k+r，满足m>n，则

上述引理1与引理2给出了[1]n×[1]m的结论，包含了n=m和n≠m的情形。本文将首先给出由其他一位数码生成的循环正整数与自身乘积的相关结果。

1 一位数码生成的数字金字塔

在这一节中，一位数码生成的数字金字塔的讨论实质上是探讨任意n阶循环正整数[a]n的乘积[a]n×

[a]n，其中a=2，3，…，9。根据引理1和算式123456790×4=493827160，98765432×4=395061728,可以得到如下结果：

定理1∀n∈N*，∃k,r∈N*，有n=9k+r，(k≥0,0r<9)，那么

结合引理2，则有

推论1∀n,m∈N*，∃k,r∈N*，有n=9k+r,(k≥0,0r<9)。如果n

但是考虑[3]n×[3]n时，存在其他简洁方法。直接计算可得，

[3]n×[3]n=[1]n×[9]n=[1]n×(1[0]n-1)=[1]n×1[0]n-[1]n=[1]n-10[8]n-19

然而利用引理1，也可以得到相同的结果。事实上，

类似地，结合引理2，

定理2∀n,m∈N*，∃k,r∈N*，有n=9k+r,(k≥0,0r<9)。如果n

在上述计算中注意到，利用循环正整数符号计算时，需要考虑进位。再如，[5]n×[5]n。

由于123456790×25=3086419750，[123456790]k×25=[308641975]k0，98765432×25=2469135800，[098765432]k×25=[246913580]k0，

则

类似的，结合引理2，

定理3∀n,m∈N*，∃k,r∈N*，有n=9k+r,(k≥0,0r<9)。如果n

其他一位数码生成的任意n阶，m阶的循环正整数[a]n和[a]m，相应的乘积[a]n×[a]n，[a]n×[a]m存在上述类似的结果。通过计算发现，[6]n×[6]n，[9]n×[9]n的结果类似于[3]n×[3]n的形式。其他的情形类似于[2]n×[2]n和[5]n×[5]n，需要考虑到进位。

例1根据上述定理1,定理2和定理3的结论，我们给出相应的三层数字金字塔。

考虑m=20，n=18，19，20。即，先固定m的取值，通过计算，第18层，19层和20层的数字金字塔如下：

[1]20×[1]18=1234567901234567899987654320987654321

[1]20×[1]19=12345679012345679010987654320987654321

[1]20×[1]20=123456790123456790120987654320987654321

[2]20×[2]18=4938271604938271599950617283950617284

[2]20×[2]19=49382716049382716043950617283950617284

[2]20×[2]20=493827160493827160483950617283950617284

[5]20×[5]18=30864197530864197499691358024691358025

[5]20×[5]19=308641975308641975274691358024691358025

[5]20×[5]20=3086419753086419753024691358024691358025

其他一位数码生成的数字金字塔类似于上述结果。

2 多位数码生成的数字金字塔

在这一节中，讨论多位数码生成的数字金字塔。而n阶循环正整数符号[a]n可以多层嵌套使用，如[1[0]2]3=100100100。关于任意n阶循环正整数[a]n的乘积[a]n×[a]n有如下重要引理。

引理3[1]∀n,m∈N*，存在k,r∈N*，使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)

令A=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

Cn=[1[0]m]n×[1[0]m]n，则

进一步，可得

定理4∀n,m,l∈N*，存在k,r∈N*使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)，如果n

令A=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

Cnl=[1[0]m]n×[1[0]m]l，则

证明：∀n，m，l∈N*，当n>l时有n=2，

C2l[1[0]m]2×[1[0]m]l=1[0]m[2[0]m]l-2+11[0]2m

当n=2时结论成立。

假设当n=p时成立，则∃k，r∈N*，使得p=[9]m+1k+r，

当n=p+1时，p+1=9k+r+1，

若r+1为[0]m3～[9]m8时即r为[0]m2～[9]m7时的情况，

C(p+1)l=[1[0]m]p+1×[1[0]m]l=[1[0]m]l×[1[0]m]p+1

=[1[0]m]l×[1[0]m][0[0]m]p+[1[0]m]p×[1[0]m]l

=[1[0]m]l×[1[0]m][0](m+1)p+[1[0]m]p×[1[0]m]l

=[1[0]m]l[0](m+1)p+m+[A]k[0]m1[0]m2…[r]l-p+1…[0]m3[0]m2[B]k[0]m1[0]2m

=[[0]m1]p+l-p[0]m[0](m+1)p+m+[[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1]k

[0]m1[0]m2…[r]l-p+1…[0]m3[0]m2[[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2]k[0]m1[0]2m

=[A]k[0]m1[0]m2…[r+1]l-p+1…[0]m3[0]m2[B]k[0]m1[0]2m

结论成立。

同理，当r为其他情况时结论也成立。

因此该定理成立。

说明：定理4与引理3从不同的方面讨论了数字金字塔规律，但是他们的结论却是一致的，在定理4中若l=n时就是引理3的情况。当l

例2：根据定理4,和引理3的结论，我们给出相应的三层数字金字塔。

考虑m=2，l=5，n=3，4，5。即，先固定m的取值，通过计算，第3层，4层和5层的数字金字塔如下：

[1[0]2]3×[1[0]2]5=10020030030030020010000

[1[0]2]4×[1[0]2]5=10020030040040030020010000

[1[0]2]5×[1[0]2]5=10020030040050040030020010000

多位数码生成的数字金字塔的讨论实质上是探讨任意n阶循环正整数[a]n的乘积[a]n×[a]n，其中a是二位以上不全相同的数码。例如，利用定理4，可以考虑任意n阶循环正整数[12]n的乘积[12]n×[12]n及[12]n×[12]m。此算式可以改写成[10]n×[10]n×1.44及[10]n×[10]m×1.44。一般情形下，如果数A和B与m+1位正整数数码a的a2的乘积A×a2，B×a2进位数不超过m时，计算[a]n×[a]n和[a]n×[a]l可以改写成

令α=A×a2，β=B×a2，于是，可以得到如下结论：

定理5∀n,m∈N*，存在k，r∈N*，使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)，

令A=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

γn=[a]n×[a]n，如果α=A×a2，β=B×a2进位数不超过m，则

证明:∀n,m∈N*，存在k,r∈N*,使得n=[9]m+1k+r,(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)。根据引理3，可以考虑其中一种情形，即r=[0]m+1，而其他情形类似。

=[A]k-1[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[B]k-1[0]m1×a2

=([A]k-1[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[B]k-1[0]m+1+[0]m1)×a2

=([A]k-1[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[0]m+[B]k-1[0]m+1)×a2+a2

=([A]k-1[0]n+[9]m+1×(m+1)+[9]m7×(m+1)+[0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[0]m)×a2+

[β]k-1[0]m+1+a2

=[α]k-1[0]n+[9]m+1×(m+1)+[9]m7×(m+1)+([0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2[0]m×a2)+

[β]k-1[0]m+1+a2

=[α]k-1([0]m1[0]m2…[9]m8[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2×a2)[β]k-1[0]m+1+a2

定理6∀n，m，l∈N*，存在k，r∈N*使得n=[9]m+1k+r，(k≥0，[0]m+1≤r<[9]m+1)，如果n

令A=[0]m1[0]m2[0]m3…[9]m7[9]m+1[0]m+1,B=[0]m+1[9]m+1[9]m8…[0]m3[0]m2,

Cnl=[1[0]m]n×[1[0]m]l，如果α=A×a2，β=B×a2进位数不超过m,则

证明与定理5类似。

例3根据定理4，和引理3的结论，我们给出相应的三层数字金字塔。

考虑a=12，l=5，n=3，4，5。即，先固定a的取值，通过计算，第3层，4层和5层的数字金字塔如下：

[12]3×[12]5=146923636348944

[12]4×[12]5=14692378180348944

[12]5×[12]5=1469237832580348944

例4根据定理4,和引理3的结论，我们给出相应的三层数字金字塔。

考虑a=101，l=5，n=3，4，5。即，先固定a的取值，通过计算，第3层，4层和5层的数字金字塔如下：

[101]3×[101]5=10221432633633623412201

[101]4×[101]5=10221432643844834623412201

[101]5×[101]5=10221432643855045834623412201