应用《几何画板》开展数学探究式教学的途径与方法

余明芳 王钦敏

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

《几何画板》（The Geometer′s Sketchpad）软件平台可以让操作者精确设定几何对象的位置关系，简易追踪点与直线的运动轨迹，直接观察含参数对象的变化规律，自由地进行构图与动画试验，因而在几何、解析几何与函数等章节的探究式教学中，都有广泛的应用。教学实践表明，应用《几何画板》开展数学探究式教学，可以有效调动学生学习积极性，让数学变得更有趣味，更易于理解，并且，它也很有利于培养学生的数学探究与发现能力。

应用《几何画板》开展数学探究式教学，需要教师认识《几何画板》软件的各项功能，善于在日常课堂作示范，潜移默化地提高学生的平台操作能力。同时，还需要教师在课堂上秉持运用信息技术辅助教学的理念，依据教学实情，立足教材，合理地改造与拓展教材内容，［1］使《几何画板》与数学的课程内容和教学方式得以深度融合。这也是应用《几何画板》开展数学探究式教学的主要途径与方法。下面以高中数学《椭圆》章节教学为例进行详细说明。

一、改造教材内容，使之适合学生在《几何画板》进行实验与探究

适合运用《几何画板》开展探究式教学的教材内数学概念知识，其生成与拓展的过程大多可在画板平台通过顺次构图，顺理地进行多方位的实验与探究，但教材教学内容的编排未必会按同样的次序，也未必都是或比较完整地给出与画板功能相契合的知识内容。因而，应用《几何画板》开展数学探究式教学，大都需要对教材内容进行较大幅度的改造，使之适合学生在《几何画板》进行实验与探究。例如，有关椭圆的概念知识，是很适合运用《几何画板》引导学生深入探究的内容，［2］为使软件技术与教学课程有更多融合，首先需要对教材进行合理改造。

在《椭圆》这一章节教学中，椭圆的图象与概念是一个核心知识，教材的知识推演与例习题安排大都是围绕着这个核心进行的。如人教社A版教材首先是用一个系有铅笔的绳索作画图试验，然后给出椭圆的定义，之后安排的许多例习题都与椭圆的作图问题有关。因而，结合教材“信息技术运用”部分的“用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”内容，适当改造并整合教材内容，引导学生在《几何画板》探求椭圆的多种作图方法，可以让学生理解有关知识和各例习题间的逻辑关系，更深刻地认识椭圆外在的图形特征与内在的性质规律。

在《几何画板》软件中画椭圆的方法很多，学生一般会先仿照教材中用绳索来做试验，根据椭圆的定义画出椭圆（如图1），其步骤如下：

图1

1.在x轴上取两个关于原点对称的点F1、F2，以之为椭圆的两个焦点；

2.在图形外作一条线段AB，使|AB|＝2a(|AB|>|F1F2|）；

3.在线段AB上任取一点P，构造线段PA、PB；

4.以点F1为圆心、|PA|长为半径作圆，再以点F2为圆心、|PB|长为半径作圆，两圆相交于点P1、P2；

5.依次选中点P、P1，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆的上半部分，再依次选点P、P2，作出椭圆的下半部分（如图1所示）。

对于已基本掌握《几何画板》作图方法的学生，以上操作步骤是简单平易的。但学生在仿照过程中能结合软件功能进行独立的数学思考，在实际操作中手脑并用，对椭圆定义与图形的印象会更加深刻；作完图后的实践性体验与成功喜悦也会增添一些学习乐趣，同时还可以提高学生运用软件研究数学的信息技术素养，可谓一举多得。在学生完成以上工作后，需要继续引导学生结合教材的例习题内容寻求新的作图方法。

教材例2也是生成椭圆的一种基本方法，可以引导学生按其提示依次作图，并通过方程证明所画的图形是与定义相符的椭圆。为使学生理解这种画法的思路产生过程，在教学中，教师不妨用圆形铁线圈做一个直观演示，然后给学生作这样的提示：由于椭圆1(a>b>0)上任一点的坐标可表示为（acosθ，bsinθ），而圆上任一点的坐标可表示为（acosθ，asinθ），因而，只要将圆上的点的纵坐标asinθ变换为bsinθ，即可将圆变换为椭圆。在这一提示下，学生可以找到以下画法：

图2

1.以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0）为半径画两个圆；

2.在大圆上任取一点P，过点P作PN⊥Ox轴，垂足为点N；

4.选中点P，用“变换”菜单中的“缩放”功能，将点P按标记比缩放得到点M；

5.依次选中点P、M，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆（如图2所示）。

以上改造使《几何画板》能融入课程，让学生对圆与椭圆的图形关系，以及它们在参数方程式下的统一性有了明确认识。同样地，教师可以将教材例3改造为适合学生在《几何画板》上作图的课程，让学生直观具体地体验丰富多彩的椭圆生成方式，以激发学生的好奇心，提高学生的想象力，深刻认识椭圆概念的内涵与图形的由来。

在应用《几何画板》开展数学探究式教学时，要使技术在课堂有更广阔的可用武之地，需要尽量多地将教材内容改造为适合学生在《几何画板》进行实验与探究的课程。比如，教材“信息技术运用”部分的“用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”内容，并未给出用《几何画板》软件的作图过程，就需要我们将其内容改造为作图问题，启发学生按以下步骤作图：

图3

1.在平面中作两条相互垂直的直线l与r，设其交点为C；

3.计算，在直线l上找到点F，使|CF|

5.以点F为圆心，以e·|CM|为半径作圆，设圆与过点P且垂直于l的直线相交于点P、Q；

6.依次选择点M、P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆的上半部分，再依次选择点M、Q，作出椭圆的下半部分（如图3所示）。

应用《几何画板》开展数学探究式教学，需要引导学生逐步掌握《几何画板》软件的操作技术，学生操作水平的提升，往往也意味着数学思维能力得到进步，探究精神得到发展。在以上作图过程中，第4、5两个步骤是关键，它使得动点P到定点F和定直线r距离之比始终保持为定值e，引导学生对此进行想象与构造，不仅可以提高学生的画板制作技术，同时也可以培养学生数学思维的灵活应变能力，以及勇于探索的进取精神。

立足教材改造教材内容，使课程适合学生在《几何画板》进行实验与探究，才能使技术与课程产生较多的交汇与融合。因而，利用《几何画板》开展数学探究式教学，需要“以课本为本”，关注教材编写意图，围绕章节知识和思想组织教学的同时，还要不拘泥于固化的教材，反对“照本宣科”式的低级教学，深入研究教材与学情，从整体上把握教学内容与教学策略，灵活多变地对教材的内容与结构进行有益的改造，将信息技术深度融合到课程主题与具体内容,让学生能以《几何画板》为工具对知识进行重构。

二、拓展教材内容，以充实丰富画板平台上开展的探究式教学课程

为促成几何画板与数学探究式教学的深度融合，需要因材制宜地改造教材内容，使其成为适合学生在画板平台进行实验与探究的问题。为了能将这些问题重新组织成一个充实丰富的探究式课程，还需要广开思路拓展教材内容，增添更多有意义的探究教学素材与问题。例如，在按上述方式将教材例2的内容进行改造后，教师可顺水推舟地提出以下问题：如果将椭圆上任一点（acosθ，bsinθ）的横坐标acosθ看作是圆x2+y2=a2(b>0)上某一点的横坐标，将其纵坐标bsinθ看作是圆x2+y2=b2(b>0)上某一点的纵坐标，是否可以得到一种新的画法？通过不断地提示和启发，学生有可能在画板上采用以下步骤作图：

图4

1.以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0）为半径画两个圆；

2.在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B；

3.过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为点N；作BM垂直于AN，垂足为点M；

4.分别选中点A，M，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆（如图4所示）。

在图中，|ON|＝acosθ，|NM|＝bsinθ，因而点M的轨迹是一个椭圆。这一拓展和延伸的内容涉及很多教材已删减的椭圆辅助圆问题。在教学中是否要增补教材已删减的部分旧教材内容，是很多教师颇感为难的事。类似这样通过拓展将其增补为一个课堂探究问题，是一种比较合适的方法，它让学生认识到椭圆的又一种生成方式，进一步体会到圆与椭圆知识间的紧密联系，促进了学生关于知识的“关系性理解”［3］，同时还提高了学生的学习兴趣，充实了应用《几何画板》开展的探究式教学课程内容。

灵活多变地将教材知识内容改造为适合学生在画板平台进行实验与探究的问题，可以让学生通过画板软件平台的操作演练，更有体验感地参与数学的发现与探究，学习的积极性得到激发，好奇心与想象力得到培养，学习兴趣得到提升。基于改造所得课程，依探究主题进一步加以拓展与延伸，可以让探究式教学内容更加充实与丰富，能更多维度地呈现数形内涵之美，强化学生的求变意识与转化能力，深度激活学生思维，更好地培养学生的数学发现与探究能力。例如，为引导学生继续探究发现更多画椭圆的方法，在学生懂得根据椭圆定义“椭圆上的任一点到两焦点的距离之和等于定值2a”画椭圆之后，可提示学生把定义中的定值2a看作是某个圆的半径长度，设法将如图所示的圆半径F1P“化直为折”，转换成长度不变两端点固定在x轴上的折线段F1MF2，然后让点P在圆上作圆周运动，通过画出点P的伴随动点M的轨迹画出椭圆，得到以下画法：

图5

1.在x轴上取两个关于原点对称的点F1、F2，以之为椭圆的两个焦点；

2.在图形外作一条线段，使它的长度为2a（2a>|F1F2|）；

3.以点F1为圆心、2a长为半径作圆，在圆上任取一点P；

4.连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与PF1交于点M，连接MF2；

5.依次选中点P、M，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆（如图5所示）。［4］

这个画法依据的仍是椭圆定义，但需要学生能使用“倒溯法”进行构思与设想：设想将MP折到MF2位置，视点F2为椭圆的右焦点，由|MP|＝|MF2|推断点M在线段 PF2的中垂线上 ，因为|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|F1P|＝2a，故点M到两个定点F1和F2的距离的和等于定长2a，其轨迹是一个椭圆。上述拓展内容充实并丰富了探究式教学课程，能让学生在构思设想中产生灵感与顿悟，感受数学思维之美，［5］经历有别于日常解题活动的思考与想象。

数学探究式教学倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究，致力使学生体验数学发现和创造的历程，形成积极主动的个性化学习方式，养成独立思考和积极探索的思维习惯，以便能改变日常教学中过于注重接受学习、死记硬背和机械训练的不良现状。因此，应用《几何画板》开展数学探究式教学，需要广开思路拓展教材内容，使《几何画板》与数学的探究式课程、教学进一步融合,以创造更多的机会让学生在实作演练中亲历探究，从而能更有力度改变常规的教学结构,营造实践型的教学环境，让学生真切认识数学概念和结论的产生过程，亲自体验创造激情，增强创新意识。

应用《几何画板》开展数学探究式教学，教学的重心仍在于培养学生数学发现与探究的能力，以及促进学生的数学理解，增强学生关于数学理论知识的创新意识。对椭圆章节教材进行上述的改造与拓展，教学的主题是引导学生探讨在《几何画板》画椭圆的具体方法，几何画板与数学探究式教学获得较有深度的融合。椭圆画法繁多，可选择有助于促进后续学习进程的，能揭示知识间主要关系的画法作为拓展的内容，这种拓展能帮助学生理清新旧知识间的复杂关系，更深入地理解数学，提高数学发现与探究的能力。

对教材进行拓展，不可过多地脱离教学要求与教学实情。如果拓展所得内容与教学要求相离甚远，就需要思考是否可以弃之不用；如果教学用时比较紧张，就需要调整拓展内容的长度；如果学生的学习基础和探究能力比较薄弱，就需要控制拓展内容的难度。如在设计“用《几何画板》画椭圆”的教学内容时，采用了以上两个拓展内容后，已基本可以满足学生学习和理解的需求，更多的画法当留给学有余力的学生在课后继续探究，如果要在课堂上引导学生继续应用《几何画板》对椭圆概念知识进行探究，就要寻找一个更为合适的问题。比如，探究了椭圆的画法之后，椭圆的定义仍是一个需要深入思考的核心内容，教师在教学中可就此问题引导学生继续使用《几何画板》进行探究。

图6

椭圆是到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹，这是学生普遍难以理解的一个新概念，大部分学生都会不由自主地想到，如果把其中的“和”改为“差”“积”“商”，轨迹就应当不再是椭圆了，那又是什么曲线呢？通过画板的操作演示，围绕学生的这一疑虑展开探究，让学生明白到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹是双曲线，到两个定点距离之比等于定值（不等于1）的点的轨迹是圆，到两个定点距离之积等于定值的点的轨迹是卡西尼卵形线（如图6所示），有利于开阔学生的思维空间，更多地把握概念知识关系，因而也是教学中对教材进行的一个有益拓展，可以进一步充实与丰富探究式教学课程内容。

通过类比联想，将上述两个定点中的一个改为定直线，探究到定点与定直线的距离之比（或和、差、积）等于定值的点的轨迹问题，是一个很自然的思路，能让学生通过画板操作以可接受的方式获得椭圆的第二定义，进而获得抛物线和双曲线的第二定义，以及这三种圆锥曲线统一定义。学生在画板上进行这些实际操作，可以直观认识三种曲线的互化关系和统一性，直观感受不同图形连续变换的奥秘与奇妙。

以上内容都是以几何基本元素（点、直线）的相互关系为考察对象的，它们都以距离为纽带，以运算为方法，通过运算中的不变性发现规律，给出定义。由于在平面直角坐标系中，动点P(x,y）与定点A(－a,0）和B(a,0）的连线的斜率之积是常数－1时，其轨迹为圆，因而在探究过程中，教师可进一步地启发学生以角度换距离，通过运算发现以下规律：平面直角坐标系中，动点P(x,y）与定点A(0,－b）和B(0,b）的连线的斜率之积是时，其轨迹是椭圆；动点P(x,y）与定点A(－a,0）和B(a,0）的连线的斜率之积是时，其轨迹是双曲线。

以上拓展内容大多是以类比联想方式进行推广的结果，填补了对教材内容进行改造时产生的缺漏与不足，使课程教学内容得到充实与丰富，可以供学生在《几何画板》进行实验操作，使课堂能在更多场合运用几何画板的技术功能，达到进一步培养探究能力增强创新意识的目的。

三、结语

在应用《几何画板》开展数学探究式教学中，通过改造教材内容使之适合学生在《几何画板》进行实验与探究，通过拓展教材内容以充实丰富画板平台上开展的探究式教学课程，才能让《几何画板》与数学课程及教学得以深度融合，成为教师开展探究示范教学、学生进行探究性学习的有力工具，［6］从而深刻改变数学课堂教与学的方式。众多教学实践与观察表明，应用《几何画板》开展数学探究式教学，可以在课堂上赋予教师更多的教学激情，其所开启的现实性的数学探索实践活动也会让学生的学习变得积极主动、乐意投入，更易于理解探究过程中涉及的数学概念知识间的关系，更易于整体把握数学理论知识的体系与结构，更易于从数学思想方法的层面审视数学思维方式问题。

应用《几何画板》开展数学探究式教学，是信息技术与数学课程的融合，也是信息技术与数学教学模式的融合，它可以促使学习者的概念与经验、逻辑与直觉、理智与情感、方法与思想得以同步融合。［7］“填鸭式灌输教学”与“机械化题海战术”是当前数学教学中存在的常见现象，“学不入迷”“懂而不会”“认识低下”是学生数学学习中的突出问题，应用《几何画板》开展数学探究式教学，可以让数学教学摆脱枯燥的运算与逻辑思维训练，可以更好地激发学生的好奇心与想象力，增强学生的学习内驱力培养学生的数学学习兴趣，可以充分发挥计算机的数学探索实验功能，培养学生发现与提出数学问题的能力，从而更全面地体现数学教育的内涵和价值。