一次课堂讨论的多解思维迸发

刘洋

【摘要】在一次三角竞赛辅导课中，关于两个自主招生问题的复习引发了学生的思考，难能可贵的是学生对于问题的思考，引起了大家的讨论，对于数学学习是一种不小的引导.

【关键词】自主招生；三角；思维；讨论；齐次式

三角函数是一种特殊的函数，其相对于一般函数而言，自变量的选择是以角度为先，建立对应关系式解决问题.三角相关的问题在自主招生和竞赛中对于学生而言往往显得较为困难，因为其技能和公式运用能力要求相对较高，导致学生往往得分困难.难点在何处呢？笔者以两个自主招生试题来谈一谈从一次课堂讨论中解决三角问题的思路和想法.

问题1 函数y=cosθ2+sinθ（θ∈R）的值域是.（请写出两种以上的方法）

分析 本题是2012年卓越联盟的考题，从试题结构和难度来说，本题是三角相关知识中难度一般的一道问题，给出的主要目的是想请学生思考三角函数值域相关问题中，多种解决方式的交叉使用，主要请学生思考解题途径.要写出两种以上的解法并不困难.

生1：可以从斜率的角度思考.我们知道这样的问题一直可以从直线斜率的角度入手，画几何图对于问题的解决相对简捷.

如图所示，从斜率角度简化，不妨令y=cosθsinθ+2=cosθ-0sinθ-（-2），可看成是圆x2+y2=1上的点到（-2，0）的斜率，由解析几何有关知识，可得y∈-33，33，这里图形化是解决问题的主要方式.

师：很好.本题与中学数学中常见的三角问题类似，解决方式也比较熟悉，第一位同学思考得非常到位.能不能换一个视角呢？

生2：我可以從代数化的角度思考.2y+ysinθ=cosθ，2y=cosθ-ysinθ=1+y2cos（θ+φ），由|cos（θ+φ）|≤1，故2|y|≤1+y2y∈-33，33.这里借助了和与差余弦公式的逆用，将问题代数化，优点是降低了思考的难度，使得计算替代思维，成为第一选择.

师：不错.代数化的方式也比较简捷.从分子分母中的齐次式的角度呢？

生3：我们讨论了一下，分子、分母是齐次式，借助半角万能公式，我们可以转化为一般函数问题，即令tanθ2=t，t∈（-∞，+∞），则y=1-t21+t22+2t1+t2=1-t22t2+2t+2，再用判别式法，求得y∈-33，33.在换元之后，三角函数的问题转变为分子分母都是二次函数的问题，判别式法成为头脑中迅速跳出的一种解法.

师：有道理.齐次式的解决方式在一般函数中，我们思考得较多，尽管本题是三角函数，但是换元之后一定可以展示出较为熟悉的一般函数模型，从而简化.

意图：本题作为卓越联盟考题难度并不大，写出两种解法并不困难，中学数学中也常常有类似的问题.但是若要学生写出三种以上的解法，笔者认为是有难度的，因为学生对于函数内部转化后的模型认知，尚缺乏整体的理解和思考，因此，给学生一定的时间讨论和尝试，是积极、有效的.

问题2 △ABC的三边a，b，c满足a+b≥2c，A，B，C为△ABC的内角.求证：C≤60°.

分析 这是典型的自主招生类问题，本题是2015年上海交通大学自主招生问题.仅仅一个条件a+b≥2c，从边的条件出发思考结论C≤60°，学生解决问题的思路应该是明确的.

生1：我们组讨论了本题，觉得既然从边作为条件入手，角作为结论确定，自然需要边化角的尝试，所以我们第一想到的是正弦定理，先尝试.由正弦定理，a+b≥2csinA+sinB≥2sinC2sinA+B2cosA-B2≥2·2sinC2cosC2cosA-B2≥2sinC2.又考虑到三角有界性cosA-B2≤1，所以2sinC2≤1.注意到0

师：很不错哦！a+b≥2csinA+sinB≥2sinC之后采用了和差化积的方式简化了运算，尽管和差化积公式在中学数学中没有强行要求记忆，但作为自主招生这样的公式还是需要理解和记忆的.换一个角度的思考有吗？

生2：我们正好跟第一组同学反过来，我们认为有了边作为条件，那么寻找边之间的关系就可以利用余弦定理去解决角的问题.由余弦定理知，cosC=a2+b2-c22ab≥a2+b2-a+b222ab=4（a2+b2）-（a+b）28ab=3（a2+b2）-2ab8ab=3（a2+b2）8ab-14≥34-14=12，所以C≤60°.

师：恩，思考点也非常正确.若不想从角的道路，自然可以从边上去思考问题的解决途径，这里关键在于三元转化为两元，在转换为两元之后，我们不难发现4（a2+b2）-（a+b）28ab已经达到了齐次式的目的，不等式的运用已经是自然而然的事情了.

意图：“边角之争”已知是三角函数问题的主线，从边到角、从角到边都是常规的思路.可以这么说，如果从角到边解决起来较为复杂，则从边到角应该容易一些，否则两者难度也半斤八两，问题解决之道有点类似哲学思想正难则反易.

总之，课堂要给学生自主探索的时间，要寻找正确的解决导向.这一点是笔者课堂教学，尤其是自主招生或竞赛类课堂一直强调的，从中获得的思路才是课堂教学最为关注的.