一道数学高考题解法的“探究”及教学启示

□周如俊

（灌南中等专业学校，江苏灌南 222500）

【2018年江苏（文理）第19题】试题如下：记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数 .若 存 在 x0∈R，满足 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

（1）（略）；

（2）（略）；

（3）已知函数f(x)=-x2+a，g(x)=任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”，并说明理由.

江苏省教育考试院给出“参考答案”摘录如下：

（3）对任意a＞ 0，设h(x)=x3-3x2-ax+a.

因为h(0)=a＞0，h(1)=-2＜0，且h(x)的图解是不间断的，

所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0，

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.

因此，对于任意a＞0，存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.

2016级高三学生研读“参考答案”时感到懵懂与迷茫，提出四个方面疑问：一是为何一开始就构建函数h(x)=x3-3x3-ax+a，而不是构建其他函数？二是“参考答案”中“此时，x0满足方程组（**）”的结论理由是什么？是否省略了一些解题过程？三是对于“对于任意a＞ 0，存在b＞ 0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内存在一个‘S点’”结论，是否存在两个或3个“S点”？四是满足“f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)”条件下两个函数之间是怎样的关系？能否用数学公式表征出来？为此，笔者基于数学学科核心素养视域，在教学中做了一些探究，引导学生对试题解法与命题本源试做一些探讨.

一、解题的“塑源”——培养学生“数据分析”素养

参考答案解法是逆向思维综合解法，学生识读时感到晦涩难懂.为此，采用正向思维法，对原解法做了改进.其解题关键是：确立b＞0时x0的范围.然后构造函数h(x)，验证x0存在的区间上h(x)有解（即有零点），结论成立.

假设对任意a＞0，存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”，则

由f′(x0)=g′(x0)知：即b=

对任意a＞0，b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内存在“S点”.

由 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0)，得出

以下解法同参考答案.

以上诠释了学生前两个疑问.

【教学启示】高考解题教学过程也是师生数据（信息）分析过程，而不是仅靠“参考答案”的“复制”式讲述过程.为什么参考答案中一开始就要构建相关三次函数，教学中需要引导学生学会数据分析，提升数据处理（包括数据抽象化、逻辑推理、最优分析、符号运算）技巧.即针对高考试题内容与参考答案的研究对象，调取相关求解信息与关联数据，进行逻辑分析和缜密推断，注重学生发现数据问题、体验解决问题的形成过程：从试题中学会收集数据，从数据归类中提炼关键数据，从数据挖掘中提取关联信息，构建学生熟悉的函数、数列、不等式、三角、排列组合、线性规划等数学模型，进行数据分析、逻辑推断与类比整合，获得解题的相关结论、方法、思想和智慧.这种数据“分析”过程主要包括：“信息识别（体验数据中蕴涵着信息）—数据收集—挖掘（分析）数据—模型选定—数据改进（提炼）.”最终促进学生数学问题求解的思维深度，增强学生基于数据表达与提炼的问题求解意识，积累依托数据探索解题的关联、本质、模型、思想和规律的活动经验，内化为学生自己的结构化知识网络，养成通过数据分析与逻辑推理认识试题命题本质的思维品质.

二、解题的“化归”——培养学生“数学建模”素养

以上“对于任意a＞0，存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内存在一个‘S点’”论证，应用了函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a,b)，使得 f(x0)=0，这个 x0也就是f(x)=0的根.函数零点存在性定理，能确定函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但零点不一定唯一；另外，并不是所有的零点都可以用该定理来确定.也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a,b)上没有零点.例如，函数f(x)=x2-5x+6，有f(0)f(4)＞ 0，但函数y=f(x)在区间（0，4)上有两个零点；只有y=f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)f(b)＜0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点.

对于考生的第三个疑问，其实涉及了“三次函数零点问题”.依据函数零点存在性定理及相关结论，结合文献[1-2]内容，对表1三次函数图象情况进行拓展，做一般性推广，得到如下推论.

表1

【推论 11】三次函数（fx）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数

f（′x）=3ax2+2bx+c，记 Δ=4b2-12ac，设f（′x）=0的两根为x1，x（2x1＜x2），

则：

（1）若三次函数图象与x轴有三个交点（即存在三个零点），则Δ＞0且（fx1）·（fx2）＜0；

（2）若三次函数图象与x轴有两个交点（即存在二个零点），则Δ＞0且（fx1）·（fx2）=0；

（3）若三次函数图象与x轴有一个交点（即存在一个零点），则Δ＞0且（fx1）·（fx2）＞0或Δ≤0.

利用推论1诠释考生的第三个疑问：

函数 h(x)=x3-3x2-ax+a，则 h′(x)=3x2-6x-a.

因 a＞0，Δ=(-6)2-4×3×(-a)=36+12a＞0，故由推论1可知，三次函数h(x)=x3-3x2-ax+a图象与x轴至少有一个交点.

令h′(x)=3x2-6x-a=0，则因a＞0，则

故h(x)=x3-3x2-ax+a图象如表1类型Ⅰ情况：

（1）若x∈(-∞,+∞)时有三个零点x0.三个零 点 取 值 范 围 分 别 是 ：x01∈(-∞,x1)，x02∈(x1,x2)，x03∈(x2,+∞).

因为h(0)=a＞0，h(1)=-2＜0，且h(x)的图象是不间断的，所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0.

（2）若x∈(-∞,+∞)时有两个零点x0.两个零点取值范围分别是：x01=x1，x02∈(x2,+∞)或x01∈(-∞,x1)，x02=x2.

故此种情况不存在.

（3）若x∈(-∞,+∞)时有一个零点x0.一个零点取值范围是：x0∈(-∞,x1).

故此种情况也不存在.

由于考题只需要证明存在零点即可.但作为数学学习与研究时，上述探讨三次函数零点个数问题的模型对于学生数学学习更具有普适性的意义.

综上所述，2018年江苏（文理）第19题解题本质是“三次函数零点问题”.这与2015年江苏（文理）第19题命题本质是一样的.

【2015年江苏（文理）第19题】已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

（1）试讨论f(x)的单调性；

（2）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是求c的值.

【解析】（略）

【教学启示】高考解题教学过程也是培养学生将错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的、熟习的数学结构的“建模”过程.即对高考试题解题教学中遇到三次函数的零点问题的求解难点，师生要勇于合作探究，学会用数学语言、符号、式子、图形、程序等方式进行数学抽象与表征问题（如将三次函数的导函数f（′x）=3ax2+2bx+c的判别式记为Δ=4b2-12ac，导函数f（′x）=0的两根记为x1，x2），善于用函数（fx）、导函数f′(x)的图象、函数单调性等知识和Δ＞0（Δ≤0）、（fx1）·（fx2）＞0（（fx1）·（fx2）＜0或f(x1)⋅f(x2)=0）不等式（组）联合求解方法，构建推论1数学解决问题的模型.这种数学“建模”过程主要包括：“问题复述—问题分析—问题的假设—符号抽象—构建模型—求解结论—模型（结果）验证—模型改进.”最终促进学生解决数学问题的思维广度，积累用数学语言、数学符号表述来建立数学模型解决高考试题问题的方法或经验，体现多题一解、多解归一的抽象思维品质，提高学生分析与解决问题的应用能力，增强学生学习数学的兴趣与应用数学的创新意识.

三、解题的“拓展”——培养学生“数学抽象”素养

学生的第四个疑问，其实提出了2018年江苏（文理）第19题命题的本源问题.由高等数学知识一元函数的泰勒公式推出以下结论.

【推论2】[3]假设一元函数f(x)，g(x)在x0的某一邻域均有定义，则f(x)，g(x)两个函数：

（1）若f(x0)=g(x0)，则两函数在y坐标的高度相同；

（2）若f′(x0)=g′(x0)，则两函数的图象在x0点斜率相同；

（3）若 f′′(x0)=g′′(x0)，则两函数在 x0某一邻域的凹凸性相同；

（4）若f(x0)=g(x0)，且两函数在x0处各阶导数均相同，则两函数的图象在x0的某一个领域内是相同（重合）的（即两个函数是一个函数）.

第（1）～（3）个结论简单.以下通过泰勒公式来说明推论2中第（4）个结论的正确性.

【一元函数的泰勒公式】[4]若函数f(x)包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(xx0)n的高阶无穷小.

一元函数的泰勒公式，表示函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来.若f(x0)=g(x0)，且两个函数在x0处各阶导数都相同，则f(x)，g(x)两个函数可以展开成同一个多项式，并且多项式是无穷项.因此f(x)，g(x)根据等量代换，即为同一个函数.这正是泰勒公式的真正含义.

由一元函数泰勒公式可联想到2018年江苏（文理）第19题命题的本质，形成如下结论.

【推论3】若函数f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，则函数 g(x)最简单的形式可表示

推论3诠释了考生的第四个疑问，据此可构建或编拟，或验证：满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)的两个函数：f(x)，g(x).

以下利用推论3解答2018年江苏（文理）第19题.

由推论3可知g(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0).

由 f′(x0)=g′(x0)知：-

假设对任意a＞0，存在b＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”，则b=0,即1-x0＞ 0，0＜ x0＜ 1.

由f(x0)=g(x0)得：-

以下解法同参考答案，故略.

【教学启示】高考解题教学过程也是培养学生“数学抽象”思维过程.即从高考题内容与解题背景中分析问题的“三对关系”（数量与数量关系、图形与图形关系、概念与概念关系），依据数学抽象的“四项基本原则”（弱抽象：“特征分离概括化原则”；强抽象：“关系定性特征化原则”；构象化抽象：“新元添加完备化原则”；公理化抽象：“公理抽象系统化原则”），从问题的具体背景中抽象出数学问题解答的结构化式子或一般性的规律（或结论），尝试用抽象符号或简洁术语予以表征出来.这种数学表征“抽象”过程主要包括：“信息采集—关系分析—特征抽取—符号抽象—数学表征—结构提炼—应用评价—抽象改进”，“贯穿在问题求解的产生、发展、应用与拓展的抽象思维过程中”，最终促进学生解决数学问题的思维高度，坚持通过抽象、建模、运算、推理、概括去认识、理解、把握试题命题的数学本质，使得数学或命题成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.学生也只有在积累从具体（数量、图形、经验）到抽象（概念、特征、公理）的解题活动体验基础上，才能更好地透彻理解数学概念、符号、公式、命题、方法、定理（公理）和体系 .