数学教学中学生高阶思维能力的培养——以《平行四边形及其性质1》的教学为例

□任静尔

（杭州市建兰中学，浙江杭州 310002）

高阶思维是指发生在较高认知水平层次的心智活动或认知能力.数学高阶思维则是指在数学活动中有意识的、围绕特定目标的、需要付出持续心理努力的高层次认知水平的复杂思维.它具有严谨性、深刻性、问题性、批判性、独创性、灵活性等特点.

一堂有思维深度的数学课，应该从思维水平、思维形式、思维品质等不同维度培养学生的高阶思维能力.如何培养学生获得提出问题的能力、思考问题的方法、解决问题的智慧，就需要教师在课堂中设计有效的教学环节.

《平行四边形及其性质1》这节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，这节课主要是让学生探究平行四边形的性质并灵活应用.这节课对培养学生的数学高阶思维有着重要的价值，因此下文截取一些主要教学片段进行分析.

一、高阶思维水平

基于皮亚杰的认知发展阶段论，澳大利亚学者Biggs和Collis在1982年提出了SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分类，即“观察到的学生学习结果的结构”.SOLO分类理论既继承了皮亚杰理论中建立不同年龄阶段儿童的认知发展程序模式，关注认知过程而非只重视结果；同时基于学生大量的对多领域问题的反应，进行了认知理论的修正.

SOLO分类法依照学生的认知水平高低，依次分为前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平和抽象拓展水平.SOLO分类理论的这五个思维水平，描述了学生对于学习内容由浅入深的掌握程度，反映的是学生学习由量变积累到质变的过程.前三个结构水平主要是对学习“量”的描述，重点在于学生对于知识点的掌握；而后两个结构水平则是建立在知识点“量”的基础上，主要考察的是学生高阶思维能力和针对不同学习任务分析解决问题的能力[1].

（一）关联结构水平

关联结构水平是指学习者整合对所有相关知识的理解，建立所有知识信息之间的联系，形成已知知识结构或意义，来解决较为复杂的具体问题.在数学课堂中，教师为学生构建活动情境，学生充分利用已知数学知识与活动经验解决新的问题.

【案例1】

师：请同学们根据要求四人一组完成实验报告.

1.拼一拼：两块相同的三角板（含30°直角三角板），拼出一个四边形，你能拼出多少个四边形？有几个平行四边形？2.猜一猜：平行四边形有哪些性质？（从图形基本构成——边、角、对角线着手）；3.验一验：通过观察、测量、平移、旋转等方式；4.证一证：利用数学语言进行说理论证，并形成几何语言.

学生自主探究、合作交流解决问题.

【分析】课堂的艺术不在于“静”，而在于“动”，给予学生更多活动体验，让学生能在课堂上学习“如何像科学家一样思考”，突破学科边界，引导学生去尝试体验科学家是如何工作的.教师在设计任务时，通过关联等腰三角形性质，将问题转化，使得学生在观察实验、猜测证明的活动中逐渐提升思维水平.

（二）抽象拓展结构

抽象拓展结构是指学习者在关联的基础上，对问题进行更全面的思考，以概括出更抽象的特征，生成一般性的假设并应用到新情境中，拓展问题本身的意义.为了帮助学生实现最高层次拓展抽象水平的提升，设计开放式的学生自主编题环节.

【案例2】

师：请同学们根据刚才探究得到的关于平行四边形的边和角两个维度展开思考，可以有哪些编题思路？

生1：根据角的对等邻补，已知其中一个角度，求其余各角.

生2：已知两个角的比值，求其余各角.

生3：根据边、对边平行且相等，计算一些周长、面积相关的问题.

生4：将角和边结合起来.

图1

师：（根据学生的思维板书如图1，边板书边提问）如何将角和边结合起来？增加什么条件？

生1：加入角平分线.比如平分平行四边形一个内角，则构成一个新的等腰三角形.

生2：平分两个角也可以.

师：平分哪两个角？

生3：平分一组对角，构成新的平行四边形；平分一组邻角，构成新的直角三角形.

生4：那还可以平分两组对角……（教师可以提一提矩形，并说明后续会更深入研究）

师：（根据学生的思维板书如图2）大家都非常棒，顺着这个思路，请同学们尝试着增加具体的数值，自主出题.（学生自主编题）

图2

【分析】从平行四边形角对等邻补、对边平行且相等出发，结合方程、分类讨论、利用数形结合抽象平行四边形性质问题的本质，看似围绕性质展开，实则是以此为载体，在关联三角形、平行线等知识的基础上，帮助学生实现最高层次拓展抽象水平的提升.

二、高阶思维形式

学术界将人类的思维分为直觉思维、形象思维与逻辑思维（抽象思维）三大类.逻辑思维是指运用概念、判断、推理等思维形式而进行的理性思维，包含形式逻辑思维和辩证逻辑思维两大部分，相互联系、相互渗透、相互补充，都属于高阶思维的范畴.

（一）形式逻辑思维

形式逻辑思维是指运用形式逻辑的方法，遵循形式逻辑的规律而进行的思维，是一种静态的、以分析为主的“二值思维”.在初中数学课堂中我们可以理解为是一种根据题意进行的定量分析推理能力.

【案例3】

师：（PPT展示题目：在平行四边形ABCD中，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，且 AF//CE，求证：DE=BF，∠BAF=∠DCE.）请同学们根据刚才的四步审题法进行自主审题.

学生自主审题，并完成图形语言的转换（如图3）.

图3

师：要证明DE=BF，∠BAF=∠DCE，最容易联想到什么？请同学来分析.

生：最容易联想到全等三角形，将平行四边形转化成三角形进行求解.

师：（学生边分析，教师边板书分析导图，如图4）那么还有别的解决问题的方法吗？

生：可以用今天的平行四边形性质来展开.

学生边分析，教师边板书分析导图（如图4）.

图4

【分析】在例题讲解时，教师渗透形式逻辑的观点，引导学生利用“分析导图”推进问题求解的探索过程，构建思维链，从而灵活地去寻找简单易行的方法，提高推理论证的效率.借助分析法逆推，执果索因，探明论证的路径.

（二）辩证逻辑思维

辩证逻辑思维是指运用辩证逻辑的方法，遵循辩证逻辑的规律而进行的思维，是一种动态的、以综合为主的“多值逻辑”.在初中数学课堂中我们可以理解为是一种能够用发展、变化的眼光来对知识、题目进行定性把握的能力[2].

【案例4】

师：请同学们试着改变或增加例题中的部分条件，重新设计一个有关平行四边形知识的题目.

生1：我来改例2，根据题干中的信息“E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点”进行改变，变为“边AD，BC延长线上的点”.

师：非常好，抓住了E，F两点的位置，进行变化.就根据点的位置还可以怎么变？

生2：将E，F变成“对角线上的点”或者“对角线延长线上的点”.

师：（根据学生的分析画出图形，如图5）还可以根据其他条件进行改变吗？

图5

生3：改变题干中“AF//CE”，变成“AF，CE分别平分∠BAD，∠BCD”.

生4：还可以变成“E，F是AD，BC的中点”.

生5：还可以变成“AF⊥BC，CE⊥AD”……（教师画出图形，如图6）

图6

【分析】在以例2为原型进行编题的教学活动中，教师融入辩证逻辑的理念，引导学生抓住问题中的关键信息——“点的位置”“线段的关系”，用发展、运动的眼光来看待问题，此环节的重点并不是要求学生非常完整地编出一道题，而是试着全面、综合地去思考问题，进而灵活地解决问题.

三、高阶思维品质

思维品质是思维活动中智力特点在个人身上的表现，是人的思维的个性特征，体现了每个个体思维水平、智力与能力的差异.因此要发展学生的高阶思维，就要抓住思维品质的突破口，结合数学学科的特点，在思维品质的严谨性、广阔性、创造性、批判性等方面进行有针对性的训练.

（一）思维的严谨性

思维的严谨性是指按照数学的方法和规则进行合理严密的逻辑演绎，表现为：善于捕捉问题中有价值的信息的能力；准确使用数学语言进行表达的习惯；推理严密、书写规范、计算无误的能力.

【案例5】

在平行四边形ABCD中，（1）若 ∠B+∠D=120°，则 ∠C=____；（2）若周长为16，AB=3，则BC=_____.

在讲解案例5时教师引导学生分四步走：第一，标记关键词——平行四边形ABCD，∠B+∠D=120°；第二，转化数学语言，画出图形，进行文字语言、符号语言、图形语言的转化（如图7）；第三，挖掘隐含信息，由图可得∠B和∠D是对角；第四，联想有关的知识，涉及对象的性质法则，平行四边形对角相等，邻角互补，从而解决问题.教师在引导学生分析完后，给予学生时间写，教师在这一过程中走到学生中进行点拨，指出一些不规范、不严密的地方，也可以进行板书示范.

图7

【分析】教师在讲解案例5时引导学生进行四步审题法，是为了让学生捕捉题干中的信息，并准确进行数和形之间的转化，通过观察图形挖掘隐含信息，进而全面地联想相关的知识.学生对于知识的理解往往反映在他们的表达中.华罗庚教授指出，学生在数学表达上要做到“想得清楚，说得明白，写得干净”.因此教师除了语言上的引导之外，还要给予时间让学生书写，也可以进行板书的示范，使得学生对公式、定理、法则的理解更加精确化，思维的严谨性在日常的学习中得到训练.

（二）思维的广阔性

思维的广阔性指思维活动作用范围的广泛和全面的程度，表现为思路开阔、能全面分析问题、多方位思考问题、多角度研究问题，解题结束后，有意识地对问题的特征、差异及隐含关系进行重新分析，做出更为广泛的联想.

案例3中的一题多解，案例2、案例4中的自主编题都是对学生思维广阔性的训练.在案例3教学时，要证明线段相等，已有的知识经验是证明三角形全等，而新习得的是平行四边形的对边相等，教师不应将学生的思维局限于课本中的解法，而应充分挖掘学生的潜能进行一题多解的引导.

在案例4的编题中，原例题图形是平行四边形问题中的基本图形，在本题的改编中，教师试着给学生提供思考的机会，引导学生抓住点的位置和线段的关系这两个决定图形的关键因素展开联想的翅膀，变化出更多样的图形.而案例2中的编题设计则对学生思维的限制更少，给予了更大的思考空间，学生可以有更多的自主权去增加新的条件，从解题人向出题人转变，跳出思维的定势，充分发展思维的广阔性.

（三）思维的批判性

思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，是思维过程中自我意识作用的结果，主要表现为：有能力评价解题思路的选择是否正确；善于找出和改正思维过程中的错误；不迷信课本和教师，凡事都经过思考再做出判断.

【案例6】

将学生设计的题目进行展示评议.可以分成几个步骤：（1）请出题者对出题意图进行分析；（2）请同学给予解答；（3）大家来评议，议一议这类问题的关键是什么，改编得怎么样，还可以怎么改编.

【分析】教师在课堂上要给学生创造培养思维批判性的机会，比如在学生自主编题结束后，让学生独立思考，相互交流，尝试去评价别人出的题目.教师在此时可以适时引导，从出题意图、解题的关键、表述的完整性等角度进行评价和反思.

一堂有深度的数学课，教师应在课堂引入、例题讲解、自主编题、交流评价等环节中精心设计，引导学生对知识的认识逐渐从模糊走向清晰，从片面走向全面，从肤浅走向深刻，最终实现从思维水平、思维形式、思维品质等不同维度来发展学生的高阶思维.