具有弱正规性的有限群

薛海波,张 钰,吕 恒

(1.重庆人文科技学院机电与信息工程学院,重庆合川 401524)

(2.西南大学数学与统计学院,重庆 400715)

1 引言

设G为群,H是G的子群.则H在G中的正规闭包HG定义为G中包含H的最小正规子群.于是H是G的正规子群的充要条件就是|HG:H|=1.因此从某种意义上来说,|HG:H|可以反映出子群H 的正规性.|HG:H|越接近1,那么H的正规性越强.众所周知所有子群都是正规子群的群是Dedekind群.如果一个群G的任意非正规子群H的闭包满足|HG:H|=p,其中p是一个素数,那么这类群就与Dedekind群越接近.文献[1–3]分别对这类有限p-群或有限可解群进行了详细的研究,证明了这类群的换位子群的阶存在一个上界.

一个群G的任意非正规子群H的闭包满足|G:HG|=1或者素数p,则可以看作是子群的正规性比较弱的情况.显然所有单群就满足这样性质.除单群外,让人感兴趣的是满足这类条件的幂零群与可解群.对于幂零群,Janko首先在文献[4]中研究了有限p-群G,其任意非正规子群H的正规闭包HG满足|G:HG|=p,得到了

定理1.1 对于一个非Dedekindian p-群G,如果G的任意非正规循环子群H,都有|G:HG|=p,那么G为下列群之一

(a)|G|=p3.

(b)G=ha,b|ap2=bp2=1,ab=a1+pi是唯一阶为p4非交换亚循环群且exp(G)=p2.

(c)G是极大类2-群.

(d)G=hh,z|h4=z2n=1,n>2,zh=z−1+†2n−1,†=0,1i.

作为Janko研究工作的继续,本文将研究满足下面性质的有限可解群G:对任意的x∈G,若hxi不是G的正规子群,则都存在一个素数p使得|G:为了叙述方便,下文称满足这个条件的群为MC-群.由引理2.2,若MC-群为幂零群时,则一定为p-群.鉴于Janko已经完成了这类群的分类,本文将研究可解但非幂零的MC-群,主要得到如下的结果.

定理1.2 设群G是有限可解群.如果G是非幂零的MC-群,那么G/G0是阶为p1m的循环群与阶为p2n的循环群的直积,其中p1,p2分别是素数,m≥1,n=0或1.更进一步,

(1)若n=0,则G=A o hyi,其中yp1m=1,A=G0是Hall p10-群,且有下列(1.1)–(1.3) 结论成立.

(1.1)若m=1且G0交换,则G0是初等交换p3-群;或G0=其中o(a1)=p3n,o(a2)=p3,n≥2;或G0是所有子群均正规于G的p10-群.

(1.2)若m=1且G0非交换,则G0是特殊p3-群,即G00=Z(G).故G0的幂零类为2.特别地,若p3≥3,则exp(G0)=p3;若p3=2,则exp(G0)≤22.

(1.3)若m≥2,则G0是所有子群均正规于G的p10-群.

(2)若n=1,则G/G0是两个不同素数方幂阶的循环群的直积,|G/G0|=p1mp2.此时G0中每个子群均正规于G,且有下列(2.1)–(2.3)结论成立.

(2.1)若p1=p2,则G=Gp1n Gp10,其中Gp1为G的Sylow p1-子群,Gp10为G 的Hall p01-子群,且Gp106 G0,而且Gp1=hx1i×hx2i,o(x1)=p1m,o(x2)=p1或Gp1同构于定理1.1 Janko所分类的亚循环群.

(2.2)若m=1且p16=p2,则G=()n G0,其中o(x1)=p1,o(x2)=p2.

(2.3)若m≥2且p16=p2,则G=(Gp1n G0)×其中Gp1是p1m阶循环群,G0是一个p01-子群,o(x2)=p2.

2 主要结论及证明

引理2.1[6]设π0-群H 作用在交换π-群G上,则G=CG(H)×[G,H].

引理2.2设G是MC-群,则G是幂零群当且仅当G是p-群.

证 仅需证明必要性.因为群G 是幂零群,所以G=Sp1×Sp2×···×Spk,其中Spi∈Sylpi(G),i=1,···,k是Slyow pi-子群.不妨设x∈Sp1且不是G 的正规子群.显然hxiG

引理2.3设G是交换p-群.若a∈GGp且a是aGp中阶最小的元,则存在子群G0使得G=hai×G0,其中Gp=hgp|g∈Gi.

引理2.4设有限群G是MC-群.若|G|=pmqn,p>q都是素数,且G/G0∼=Cp×Cq,则|G|=p2q或者|G|=pq.

证 显然G0中所有子群都是正规子群.令G0=M×N,其中M,N分别是G0的Sylow p-子群和Sylow q-子群.考虑商群¯G=G/M,易得的Sylow q-子群与G的Sylow q-子群同构且G/G0.因此不妨假设G的Sylow p-子群是p阶循环群.此时G的Sylow q-子群是正规子群.

下面证明G的Sylow q-子群Q是阶小于或者等于q2的初等交换群.

先假设Q是交换群.证明Q是阶小于或者等于q2的初等交换群.由引理2.1可知Q=CQ(hxi)×,Q],且[hxi,Q]=G0.因为G0是Q的真子群,所以CQ是q阶循环群.此时显然G0∩CQ(hxi)=1.若G0=1,则Q是q阶循环群,结论显然成立.假设|G0|>1.任意取q阶元b∈G0,则hbi E G.于是hai×hbi E G.由于[a,x]=1,[b,x]6=1,故(ab)x=abk,其中(k,q)=1.此时易得habi不是群G的正规子群.从而说明habiG=Q是阶为q2的初等交换子群.

下面证明Q一定是交换群.假设Q是非交换q-群.因为G0的所有子群均正规于G,所以对任意的g∈G0都有hgiEG.又由G/CG(hgi)∼=Aut(hgi),即G/CG(hgi)是交换群.于是G0≤CG(hgi)且g∈Z(G0),故G0是交换群.设z∈QG0.若hzi是G的正规子群,类似可得G0≤CG(hzi).而Q=hz,G0i,于是得Q是交换群,与假设相矛盾.故hzi不是G的正规子群.因此有Q=hziG.考虑商群=G/Q0.显然=也是MC-群.由前面Q是交换的情况的讨论可知=q2,故Q=

若q≥3,由于|Q:G0|=q且G0中所有子群均正规于G,则G0是交换群且存在x0∈QG0使得Q=G0·hx0i.任取g∈G0都有hgiEQ,[xq0,g]=1,因此[x0,g]∈Z(Q)是q阶元.故Q0≤Z(Q).于是cl(Q)=2,从而得到Q是正则q-群.

显然hzqi≤G0是正规子群.因此hzi∩hzxi=hzqi.假设o(z)≥q2,利用Q的正则性,存在q阶元z1∈Q使得Q=hz,zxi=hz,z1i.此时Ω1(Q)=hg|gq=1,g∈Qi是Q的方次数为q的真子群.于是得到Ω1(Q)中所有子群正规,即hz1i≤Z(Q).从而得到Q是交换群,矛盾.

下设o(z)=q,则exp(Q)=q且|Q|=q3.因此G0≤Q为q2阶的初等交换q-群.又因为Q是非交换群,所以存在z3∈G0使得hz3i不是Q的正规子群.这与G0的每个子群均正规于G矛盾.故Q是交换群.

若q=2,由于|Q/Q0|=4以及文献[7,命题1.6]可知,Q是极大类2-群.当|Q|=23时, 则 Q ∼=D8或 Q ∼=Q8. 若 Q ∼=D8, 则 Aut(Q) ∼=Aut(D8) ∼=D8. 由于 p 6=q, 因此[hxi,Q]=1,即表明G 是幂零群.若 Q ∼=Q8,由 Aut(Q)∼=Aut(Q8)∼=S4可知 p=3,此时可得G0=Q,矛盾.

当|Q|≥24时,则存在子群N ≤G0≤Q使得Q/N是阶为23的非交换2-群,此时Q/N ∼=D8, 从而=G/N=×,其中=xN,=Q/N,这与相矛盾.

综上所述,Q是交换群.即Q是阶小于或者等于q2的初等交换q-群.类似考虑商群=G/N,易得的Sylow p-子群与G的Sylow p-子群同构且.因此不妨假设G的Sylow p-子群是p阶循环群的情况下可得G的Sylow p-子群是阶小于或者等于p2的初等交换p-群.

最后证明|Q|=q.假设|Q|=q2.同样在商群=G/N中,则的Sylow q-子群阶为q2的正规初等交换q-子群.而|Aut()|=(q2−1)(q2−q)且p>q.由6=1可得p=3,q=2.易得此时即矛盾.故|Q|=q.

定理1.2的证明 由于G/G0是交换群,故存在x1,x2,···,xr∈G使得

其中j是使得直积个数最多的整数值.

若j≥3,则对任意x∈G0都有hxi E G.令Hi=hxi,G0i,同样可得hxii E G.而G=hx1,x2,···,xj,G0i,进而得到G是Dedekind群,与G是MC-群相矛盾.因此j≤2,即|G/G0|=p1mp2n,其中p1,p2是素数,m≥1,n=0或1.

情形(1)n=0且G/G0是阶为p1m的循环群,即|G/G0|=p1m.分以下三种情况讨论.

(1.1)m=1且G0是交换群.

假设存在x∈G0使得hxi不是G的正规子群,则易得G0=hxiG且G0是交换p3-群,其中p3是素数.因为G不是幂零群,所以素数p36=p1.于是存在y∈G使得G=hyi n G0,其中o(y)=p1.又由 G0=hxiG可知x是G0中最高阶元素,于是hxp3i E G,则h(xy)p3i∩hxi=hxp3i,故

其中o(x1)=p3,且EG.若o(x)=p3,则|G|≤p3p1且exp是初等交换 p3-群.

若o(x)=p3n>p3,则E G.令子群因为

所以H E G.故G0=,其中o(x)=p3n,o(x1)=p3.

假设G0中所有子群都正规,仅需证明G0是群G的Hall p20-群.设N 是G0的Hall p20-子群,则G/N 是p2-群,且G/N–(G/N)0∼=G/G0是循环群.故G/N 是循环群.因此G0=N是G的Hall p20-群.

(1.2)m=1且G0是非交换群.

假设对任意x∈G0均有hxi E G,则可知G/CG()是交换群.于是G06 CG(),从而得到G0是交换群,矛盾.因此一定存在x∈G0使得不是G的正规子群,故G0=G.因为G是可解群,所以G00的所有子群均正规于G.于是对任意的a∈G00都有G/CG()是交换群,故G00是交换群且G00≤Z(G0).因此G0是幂零群且cl(G0)≤2.由于G不是幂零群,易得G0是群G的一个Sylowp3-群,进而存在y∈G使得G=hyi n G0,其中o(y)=p1,|G0|=p3k,k≥1.

当p3≥3时,因为cl(G0)≤2,所以G0是正则p3-群.假设o(x)>p3.则由G0=hxiG可知,一定存在g∈G使得[x,xg]6=1.令H=因为xp3∈Φ(G0),所以hxp3iEG.于是h(xg)p3i=hxp3i.故有正整数k使得

又因H正则,所以(x−kxg)p3=1,于是有H=hx,x−kxgi.记a=x−kxg,则haiG≤Ω1(G0)

当p3=2时,假设o(x)=2t≥23.对任意g∈G令H=其中[x,xg]6=1.因为c(H)≤2,所以H0=.又由x2∈Φ(G0),则hx2i E G,于是x2∈Z(G0).故由G0的幂零类是2可得[x,xg]2=[x2,xg]=1,因此H0是2阶子群.且x2=(xg)2.由Hall-Petrescu恒等式(见文献[7])可知

其中c2∈.令b=x−1xg,则H=hx,x−1xgi=.若hbi不是G 的正规子群,则G0=.因此对任意的z∈G0,有z=bl1(bg1)l2···(bgn)ln,其中gi∈G,li是整数,1≤i≤n.又由Hall-Petrescu恒等式,对n归纳可知,o(z)≤4,故exp(G0)≤4,矛盾.因此hbi E G,所以类似可得G0≤CG(hbi),故H是交换群,与[x,xg]6=1相矛盾.因此o(x)≤22,exp(G0)≤22.

假设G00是Z(G0)的真子群.由文献[6,定理2.2]存在正规子群N 使得G00≤N 且G0/G00=Z(G0)/G00×N/G00.由G0非交换,可得|N/G00|≥p32且N 是非交换p-群,又N是G0的真子群,因此N 的每个子群都正规于G.类似可得N中每个循环子群包含在Z(G0)中,于是N 是交换群,矛盾.故Z(G0)=G00,从而得到G0是特殊p3-群.

(1.3)m≥2.显然G0的每一个子群均正规于G.此时断言(|G0|,p1)=1.否则不妨设|G0|=p1nr,令G0=Q×R,其中|Q|=p1n,(|R|,p1)=1.记¯G=G/R,则¯G是p2-群且∼=G/G0.而G/G0是循环群,于是¯G/¯G0是循环群.由此表明¯G是循环群,故G/R是交换群.进而有G06 R,与G0=Q×R相矛盾.所以存在y∈G使得G=hyi n G0,其中o(y)=p2m,m≥2,且G0是所有子群均正规于G的p20-群.

情形(2)G/G0是阶为的循环群与阶为p2的循环群.依然分以下三种情况讨论.

(2.1)若p1=p2,则G=Gp1n Gp10,其中Hall p10-子群Gp106 G0.此时G0的每个子群均正规于G.若Sylow p1-子群Gp1的每个子群均正规于G,则G是Dedekind群,与题设条件相矛盾.若Gp1交换,则G/Gp10交换,于是G0=Gp10.从而存在x1,x2使得Gp1=其中o(x1)=p1m,o(x2)=p1.若m≥2,则hx2i E G,于是x2∈Z(G),从而有G=()n Gp10=(.若m=1.因为G0中所有子群都正规,所以不妨设G0是素数阶循环群.则|G:CG(G0)|=p1.因此也可以设x2∈Z(G).如果G0是不是素数方幂循环群,那么存在正规子群N使得G0/N是素数方幂循环群.在商群G/N中类似可得x2N∈Z(G/N).于是由hx2,Ni E G可得x2∈Z(G),从而得到G=(hx1i n Gp10)×hx2i.

若Gp1非交换,类似前面设Gp10是素数阶循环群,则易得G/CG(Gp10)是循环群,且CG(Gp10)=Gp10×S1EG,其中S1≤Gp1.显然S1中所有子群都正规于G,又G/Gp10∼=Gp1也是MC-群.此时Gp1同构于定理1.1中Janko所分类的群.如果即Gp1不是亚循环群,那么由定理1.1可得Gp1只能是方次数为p1的且阶为p31的非交换p1-群.于是S1∼=Cp1×Cp1,即是阶为p21的初等交换p1-群.又S1中所有子群正规,故S1≤Z(G).从而得到Gp1是交换p1-群,矛盾.故Gp1是亚循环群.

(2.2)p16=p2且m=1.

因为G0中所有子群均正规于G,所以G0是交换群.故G0=H×K,其中K是G0的Hall{p1,p2}0-子群.不妨设p1>p2.由引理2.4可得|G/K|=p12p2或p1p2,且当|G/K|=p12p2时,由引理2.4的证明可得G的Sylow p1-子群是阶为p12的初等交换子群.此时可得G0=K×Cp1.故可得G=n G0,其中o(x1)=p1,o(x2)=p2.

(2.3)p16=p2且m≥2.由于中每个子群均正规于G,则G,故 G=Gp1n Gp10. 又因为阶循环群.所以Gp1是p1m阶循环群.

令K 是群G的Hall{p1,p2}0-子群,则=Gp2×K 每一个子群正规于G,其中Gp2是G的Sylow p2-群.又设x2是G中阶最小的元素使得x2G0是商群G/G0中的p2阶元.显然o(x2)=p2n.

下面证明n=1.显然x2/∈(Gp2)p2.由引理2.3可知,存在子群G1使得Gp2=×G1,G1E G.

由上述定理1.1,可得下面推论.

推论2.5 如果有限可解群G是MC-群,那么G的导长至多是3.

显然,定理1.2中(1.2)就存在导长是3的例子:G=Q8o C3,即四元数群Q8与3阶循环群的半直积.