几何直观：直抵数学本质

江苏南通市通州区兴仁小学 邱小东

培育学生数学“核心素养”是当下小学数学教学的重中之重。作为核心素养的重要组成，“几何直观”能力更是学生数学核心素养的重要表征。所谓“直观”，《中国大百科全书》解释为：对客观事物直接接触而获得的感性认识；《辞海》（第6版）中的解释是：感性认识，其特点是生动性、具体性和直接性。所谓 “几何直观”，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的解释是：利用图形描述和分析问题。在小学数学教学中，教师可以借助“几何直观”，引导学生描述、分析、解决问题。将抽象的数学变得形象、具体，发展学生的数学感知，增进学生的数学理解，提升学生的数学想象力、创造力，进而培育学生的数学核心素养。

一、读图：让学生运用“几何直观”抓住数学本质

传统的哲学观认为：人的认识是从感性认识逐渐上升发展为理性认识的过程。现象学哲学认为：直观有时能直接洞察本质、把握本质、抓住本质，这就是一种“本质直观”。在数学教学中，通过“读图”，也能让学生运用“几何直观”直接抓住数学本质。这里的“图”，不仅包括几何图形，而且包括实物图、示意图、线段图，甚至包括韦恩图、集合图等。在数学教学中，教师要引导学生将“图”与“式”、“图”与“文”、“图”与“数”等结合起来，发展学生的空间想象力、直观洞察力以及运用图形语言思考问题的能力等。

例如，教学《分数的意义》（苏教版小学数学三年级上册）时，笔者让学生运用“涂色”“对折”等方法表示分数。通过画、折，学生创造出了异常丰富的作品。这些作品概括起来主要有两大类：其中第一类是图形的形状不同，有圆形、长方形、正方形、平行四边形、菱形等，但都平均分成了4份，表示了其中的一份；第二类是大小不同，尽管都是用长方形、正方形来对折、涂色，但长方形的大小、正方形的大小却不同。通过这样的不同图形的展示，教师可以引导学生反思：为什么这些图形形状不同、大小不同，但却都可以用分数来表示呢？学生发现，尽管形状不同、大小不同，但由于都是将整个图形平均分成4份，表示了其中的一份，因而都可以运用来表示。在这个过程中，学生经历了一个直观操作的过程，因而能够深入地读图，在不同形状、不同大小的图形表征中读出共同的本质属性，建构起“分数的意义”的数学模型。

在数学教学中，枯燥的、抽象的概念讲解往往使学生生厌，而借助几何直观，可以让学生形成对知识的本质认识。这种认识不是黑格尔意义上地从现象到本质，而是胡塞尔现象学意义上的“直观即本质”“现象即本质”。相比较而言，学生这种对数学知识本质直观的感受、体验比本质推理、本质抽象更深刻、更持久。

二、析图：让学生运用“几何直观”理解数学本质

著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”在数学教学中，教师可以给学生提供直观材料，引领学生对直观材料进行直观分析，从而凸显数学知识的本质意义。在研究数学问题时，借助“几何直观”能让学生理解问题情境中的数学信息，让复杂的数量关系变得简洁，让抽象的数学概念变得形象，进而发现解决问题的思路。析图，就是要引领学生在数与形之间穿行，引导学生借助图形，对抽象的数学问题进行分析、探究、推导，引导学生将直观图形语言与抽象数学语言结合起来。

例如，教学《反比例的意义》（苏教版小学数学教材六年级下册）后，笔者出示了“正比例图像”和“反比例图像”，引导学生进行读解。首先，学生从整体上直观地看到，正比例图像是一条经过原点的直线，反比例图像是一条曲线。接着，笔者指出一些点，学生通过对图像上的点的解读，明晰了在平面直角坐标系中，图像上的“点”具有双重意义，即这些点既刻画横轴的意义，也刻画纵轴的意义。例如，在路程一定的“反比例图像”上，学生通过图像能够迅速判定行驶速度所对应的时间，也能够判定行驶时间所对应的速度，学生通过对不同的点的刻画发现，路程一定的情况下，速度越大则需要的时间越少，速度越小则需要的时间越多，这正是成反比例的量所表征的感性意义。有了对正反比例意义图像的感性认识，学生在解决稍复杂的问题时，不仅能够依据正反比例的意义对判别式进行判断，而且能够绘制出图像进行具体的说明。例如，在判定“正方形的面积与边长是否成正比例”时，学生在绘制图像后惊异地发现，正方形的面积与边长之间的图像是一条类似于抛物体的线（抛物线）。这样的基于对图像进行解读的能力，能够深化学生对知识的理解，为学生进入初中进一步学习一次函数、二次函数等奠定坚实的基础。

“几何直观”不仅是一种方法，还是一种思想。借助几何直观对问题展开具体分析，能够让复杂的问题变得简单，让枯燥的问题变得形象、生动，让学生的学习感受、体验变得更加深刻。在数学教学中，教师要依据学生年龄特点，以教材内容为依托，构筑从直观到抽象的桥梁。让学生借助“形”来思考、分析问题，形成解决问题的策略。

三、画图：让学生运用“几何直观”触摸数学本质

在数学教学中，教师不仅要引导学生解读现成的示意图，而且要引导学生用自己的双手画图。通过画图，学生能够运用“几何直观”触摸到数学知识的本质。数学是抽象的，但是借助画图，学生就能将抽象的数学化为形象，将理性的数学变得感性。同时，通过画图，学生能够将自我内隐的数学思维表征出来、外化出来。

例如，在教学《解决问题的策略》（苏教版小学数学五年级下册）时，对于这样的例题笔者首先让学生自主探究，积淀学生的数学活动经验。有的学生运用通分的方法，将公分母设定为16；有学生将例题化成小数进行计算；还有学生从题目的前两项、前三项的计算入手，探究这道题的规律。在学生自主探究的基础上，笔者将例题“放大”，出示了这样的习题这时通分、化成小数的方法已经显得捉襟见肘。在学生期待着更好的方法后，笔者画出了一张正方形图，表示单位“1”，让学生用自己的笔表示分数等。通过对图的分析，学生理解“为什么，“为什么等等。在直观图形启示下，学生发现，分数分母分别是1个2、2个2、3个2……，所以在直观图上可以依次将图形剩下的部分平均分成2份，最后问题的本质就是要求阴影部分，因而可以用单位“1”减去空白部分。据此，学生得出了数形结合的计算方法。 在这个过程中，学生体验到直观图形的作用、精妙。

瑞士著名教育心理学家皮亚杰认为：“智慧自动作发端”。学生在画图的过程中，能够调动自我的多种感官，将问题的本质、特征等表征出来，从而获得一种整体性、结构性、动态性的认知。借助这种对问题意义的深度认知，学生能够有效地解决问题，积淀数学活动经验，从而有效地培育学生的数学核心素养。

“一图抵百语”从“图导”走向“图构”，学生的几何直观意识、几何直观能力、几何直观素养等都获得了有效的发展和提升。在数学教学中，教师要充分发挥“图形”的功能，积累学生丰富的几何直观表象，让学生能够主动地借助几何直观图来描述问题、分析问题和解决问题，进而感知、理解、触摸到数学知识的本质。通过几何直观，积淀学生的数学活动经验，发展学生的数学思想方法，提升学生的数学核心素养。♪