在错解中理解圆与方程 于纠错中提升思辨能力——求解圆与方程问题的典型错误辨析

朱贤良

(安徽省枞阳县宏实中学 246700)

在解题活动中，“错误”总是遭人讨厌，却又似乎挥之不去、如影随形．事实上，只要我们能正确地对待错误，利用好这一宝贵的资源，在错误中反思、感悟，就一定可以悟出真相、悟出规律、悟出本质、悟出智慧．以圆与方程为例，笔者总结了常见的四类错误，在学习中妥善加以利用，既有助于我们理解圆与方程的相关知识，又能在纠错中不断提升思辨水平．

一、忽略圆的一般方程中的隐含条件

例1 已知圆x2+y2+k2x+y-k=0关于直线y=x对称，求k的值．

辨析由于方程x2+y2+k2x+y-k=0是否为圆的方程尚没有保证，故此时谈不上它关于直线y=x的对称问题．当且仅当D2+E2-4F>0，即k4+1+4k>0时，方程x2+y2+k2x+y-k=0为圆的方程，在此条件下再研究它关于直线y=x对称才有意义．

正解因为方程x2+y2+k2x+y-k=0表示圆，故D2+E2-4F=k4+1+4k>0(*)．

当k=1时，(*)式成立，符合题意；

当k=-1时，(*)式不成立，故舍去．

所以，k=1．

例2 已知圆C的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，要使过点A(1,2)所作圆的切线有两条，求k的取值范围．

错解因为过点A(1,2)作圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0的切线有两条，故点A在圆C的外部，即9+k+k2>0，解得k∈R．

辨析我们不能在没有D2+E2-4F>0保证的前提下，去讨论圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的任何性质特征．正如同说二次方程x2-2x+10=0的两个实根之和为x1+x2=2、两个实根之积为x1x2=10一样，这是极其荒谬的，因为没有Δ≥0的保证，二次方程不一定有实根．因此，在平常的学习中，要重视对概念、定理的本质进行准确把握，不可死记硬背、生搬硬套．

又过点A(1,2)作圆C的切线有两条，故点A在圆C的外部，即9+k+k2>0，解得k∈R．……②

二、对两圆相切的位置关系考虑不全

例3 求半径为4，与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程．

错解结合图形可判断，所求圆的圆心必在x轴的上方．

因为所求圆与直线y=0相切，且半径为4，故可设圆心坐标为O1(a,4)，则方程为(x-a)2+(y-4)2=16．

已知圆x2+y2-2x-4y+4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1，其圆心为O2(1,2)，半径为1．

辨析两圆相切的情况有两种，到底是外切还是内切，或是两者皆有可能，一般可以通过作图进行分析、判断．在两圆内切时，还需要注意区分哪一个圆在外，哪一个圆在内．两圆相切可分为内切与外切，错解并未分析全面，仅考虑了外切这一种情形．

正解结合图形可判断，所求圆的圆心必在x轴的上方．因为所求圆与直线y=0相切，且半径为4，故可设圆心坐标为O1(a,4)．而已知圆x2+y2-2x-4y+4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1，其圆心为O2(1,2)，半径为1．由两圆相切，可知O1O2=4+1=5(外切)或O1O2=4-1=3(内切)．

三、忽略切线、交线的特殊位置情形

例4 求过原点且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线方程．

错解因为所求直线过原点，可设其方程为y=kx，即kx-y=0．

辨析本题考查直线与圆的位置关系，一般都通过圆心到直线的距离与半径的大小关系加以判断．但在设直线方程时，没有考虑斜率不存在这一特殊情况，即易犯漏解这样的错误．本题中，原点在圆(x-1)2+(y-2)2=1外部，故过原点必可作该圆的两条切线，上述解答有误．

(2)当直线的斜率不存在时，其方程为x=0．此时，圆心(1,2)到直线x=0的距离恰好为圆的半径1，故也符合题意．

辨析在运用直线的点斜式方程包括斜截式方程解题时，常会发生类似的错误，这是点斜式方程和斜截式方程本身的局限性所致．在这两类方程里，没有包含斜率不存在的直线．因此，用这两类方程解题时，必须验证斜率不存在的直线是否符合题意的要求．

正解(1)当直线l的斜率存在时，同错解得直线l的方程为3x+4y+15=0．

综上所述，所求直线方程为3x+4y+15=0或x=-3．

四、未检验曲线与方程的关系

例6 已知圆C的方程为x2+y2=9，过点P(5,0)作直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．

错解显然直线l的斜率必定存在，可设其方程为y=k(x-5)．

当k=0时，x=y=0，也满足方程x2+y2-5x=0．

所以，M的轨迹方程为x2+y2-5x=0．

辨析过圆外一点的直线与圆相交是有条件的，这个条件显然应当限制轨迹方程中变量x,y的范围．本题只能保证轨迹上的点的坐标都是方程x2+y2-5x=0的解，但不能保证以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以x2+y2-5x=0不是M的轨迹方程．

正解同错解得点M(x,y)的坐标满足方程x2+y2-5x=0．

⟺4x-x2=(3-y)2(y≤3)

⟺(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)

此方程表示一个圆的下半部分，圆心坐标为(2,3)，半径为r=2．

错误总是伴随着人认识事物的整个过程，也只有从错误中不断总结，才能认识真相、掌握真理．因此，在学习过程中，既要注意养成良好的解题习惯与思维习惯，对一些常见的错误产生预见性并合理规避，进而提升自身的“免疫力”，更要善于辨析错误，从中汲取智慧．