例说圆锥曲线中的范围与最值问题

赵春雷

(江苏省扬州市新华中学 225002)

一、圆锥曲线的范围问题常见求法

求圆锥曲线中的范围问题，主要用到两种方法：一是几何法.几何法就是指如果题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决.二是代数法.代数法就是指如果题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用这些去求参数的范围.

例1 [2016·浙江卷] 如图所示，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.

(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

解(1)由题意可得，抛物

(2)由(1)得，抛物线方程为y2=4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.因为AF不垂直于y轴，所以可设直线AF：x=sy+1(s≠0)．

综上，点M的横坐标的取值范围是(-∞，0)∪(2，+∞)．

评注本题的难度不算太大，在第一题中已经把抛物线的方程求出来了，到第二题时就可以直接应用了.第二题是求范围的典型题目，在分析了本题后，发现要想求解还是应该用代数法来求解，因为题目中给了一些数量关系，而这些数量关系正好能联立得到方程组.

二、圆锥曲线中面积的最值问题求解方法

一般来讲，圆锥曲线中面积的最值问题求解方法主要有三种.一是转化为面积与某参量的函数，利用函数的性质求最值；二是得到关于面积的关系式后，利用基本不等式求有关最值；三是结合圆锥曲线的几何性质求最值.

评注本题的难度较大，题目中的第一题和第二题相对简单，这道题是层层递进的，前两问是为第三题打基础的.在分析本题后，发现要想求解最后一题，先要得到关于面积的关系式，然后利用基本不等式求得最值.