基于2阶锥规划的雷达干扰宽带数字波束形成优化设计

张鸿伟， 汤建龙， 冯宗盛， 柯小梅

(西安电子科技大学 电子信息攻防对抗与仿真技术教育部重点实验室， 陕西 西安 710071)

0 引言

随着固态功率放大器件的快速发展，干扰机大量采用固态功率放大器进行末级放大。由于单芯片固态功率放大器的输出功率有限，为达到较高的发射功率输出，常采用多芯片进行电路合成，但随着功率的增加，其合成效率会逐渐下降。为解决这一问题，可以采用阵列天线并通过数字波束形成(DBF)或模拟波束形成(ABF)技术进行空间功率合成。而DBF技术具有很多ABF不具备的优点，例如，DBF可以快速改变波束的指向和形状，控制灵活、精准，可以实现多个干扰发射信号间的迅速切换，且可同时形成多波束等优点。因此，在电子对抗领域，DBF技术是提高电子干扰性能的一项关键技术。

在现代作战环境中，雷达主要依靠发射和接收宽带信号对空域中的目标精确成像并识别，因此宽带化是现代雷达的发展趋势[1]。如果要对宽带雷达进行有效的干扰，则相应的雷达对抗系统也应采取宽带处理技术，并发射宽带干扰信号，且干扰信号的带宽必须等于或大于雷达接收机的带宽。雷达干扰宽带DBF本质上属于发射DBF，而发射DBF是将传统的发射波束形成所需的幅度加权和移相从射频部分放到数字部分来实现，从而形成发射波束[2]。对于宽带DBF，主要分为时域处理和频域处理两种方法。其中对于文献[3]采用的抽头延迟线延时叠加方法以及文献[4-5]中基于分数时延的时域处理方法可以形成具有高精度指向的宽带波束，并且不需要大量并行运算，但是时域处理方法对器件性能要求较高，时延时间越小、实现越复杂，工程实现较困难。文献[6]提出的基于整数时延与相移相结合的方法降低了工程实现难度，但该方法仅适用于一些可以明确获得瞬时相位信息的信号，在雷达对抗领域中局限性较大。频域处理方法通常是将宽带信号通过毗邻带通滤波器划分成子带，然后对每个子带进行对应的幅相加权处理，最后合成宽带[7]。这种方法在数字信号处理上比较简单，可达到较高的波束指向，但划分子带后，各个子带之间的相位无法较好地衔接，从而影响性能[8]。文献[9]根据线性调频信号的发射波束形成存在特殊处理方式这一现象，提出一种射频时/频变矢量加权方式的发射波束形成算法，与传统的采用频域处理和时域处理方式的宽带DBF算法相比，该算法所需的计算量和设备量小，有利于进行实时处理，但该算法可适用的信号形式单一，不适用于干扰领域。上述文献中的方法虽然能满足一定条件下的发射波束形成设计，但存在适用信号单一、干扰效果差、实现难度高等缺点。因此，有必要针对现有方法的缺点对宽带干扰波束形成的优化设计进行研究。

本文通过在波束形成器的每个阵元通道各自使用1个对应的宽带有限长单位冲激响应(FIR)滤波器对待发射的宽带干扰信号进行整体的幅相调制，克服了适用信号单一的缺点；避免了将宽带信号划分成子带处理后造成相位无法衔接进而导致干扰效果差的问题；同时该方法是在频域上对宽带信号进行处理，降低了工程实现难度。此外，对干扰波束优化设计的目标一般是使形成的干扰波束具有更低的旁瓣电平和更窄的主瓣宽度，以利于将有限的干扰功率尽可能集中在主瓣方向，从而提高干扰功率的有效利用率，保证干扰的总体效益[3]。同时，在干扰发射模式下，有时需要实现自适应波束零点，这对提高雷达电子战系统的抗侦察能力、抗反辐射导弹能力以及避免对己方雷达和侦察设备产生有源干扰等具有重要意义[10]。

基于上述优化设计目标，对波束形成器最常见的优化方法是在满足期望信号增益的同时使得其输出总功率达到最小[11]。本文使用线性约束最小功率(LCMP)准则[12-14]对波束形成器进行优化，使得在约束条件下干扰波束具有更低的旁瓣电平和更窄的主瓣宽度。此外，通过增加约束条件，可以在特定方向上形成零点，或者是在计算自相关矩阵时，在期望形成零点的方向包含1个带宽与期望发射信号带宽相同的信号，则在使得输出功率最小化的过程中，同样会在期望形成零点的方向形成零点。最后，通过消除旁瓣约束式的频率依赖性，最终将滤波器系数求解问题的解析形式转化为相应的SOCP形式[15-16]，降低了优化难度。仿真结果表明，该方法可以较好地解决相应约束条件下雷达干扰宽带数字波束形成优化设计问题，验证了该方法的有效性。

1 雷达干扰宽带数字波束形成器原理

(1)

(2)

令hm=[hm[0]，…，hm[L-1]]，则得到NL×1维向量h=[h1，…，hN]T. 将输入信号的频谱Xm(ejω)表示为N×1维向量形式，即x(ejω)=[X1(ejω)，…，XN(ejω)]T，则波束形成器的输出信号频谱Y(ejω)可以表示为

Y(ejω)=xT(ejω)(I⊗eT(ejω))h=aH(ejω)h，

(3)

式中：aH(ejω)=xT(ejω)(I⊗eT(ejω))，I为N×N维单位矩阵，⊗表示张量积运算，L×1维向量e(ejω)的定义为

e(ejω)=[1,e-jω,e-j2ω,…,e-j(L-1)ω]T.

(4)

根据(3)式得到波束形成器的输出信号功率谱密度Sy(ω)如下：

Sy(ω)=E{Y(ejω)Y*(ejω)}=hT(I⊗e(ejω))Sxx(ω)(I⊗eH(ejω))h，

(5)

式中：E{·}表示求期望值；Sxx(ω)=E{x(ejω)·xH(ejω)}为输入信号的N×N维自相关矩阵。由Sxx(ω)(I⊗eH(ejω))=Sxx(ω)⊗eH(ejω)以及张量积性质(A⊗B)(C⊗D)=AC⊗BD，得到最终的功率谱密度表达式：

Sy(ω)=hT(Sxx(ω)⊗e(ejω)eH(ejω))h，

(6)

则在频带[ωmin,ωmax]内，宽带波束形成器的输出信号功率为

hTRxxh.

(7)

在实际应用中，NL×NL维矩阵Rxx可以通过(8)式近似求得：

(8)

对波束形成器最常见的优化方法是在满足期望信号增益的同时使得其输出总功率达到最小。此外还会根据不同情况附加一些约束条件，如旁瓣衰减等。为了解决这些优化问题，必须使用待发射信号的自相关矩阵，自相关矩阵Sxx(ω)可以通过(9)式求得：

(9)

式中：Sd(ω)为待向期望方向φd发射的信号频谱自相关矩阵；Sd(ω)为待发射信号的频谱幅度；Sn(ω)为传感器噪声的自相关矩阵；dd(ejω)=[ejωτ1(φd)，…，ejωτN(φd)]T；σn为系统噪声的标准差。

从(9)式可以看出，Sxx(ω)由Sd(ω)和Sn(ω)组成，其中传感器噪声与信号不相关。

令Sd(ω)≡1，并结合(3)式，可得到经过波束形成器后的期望方向上宽带信号的频谱为

(10)

式中：

(11)

2 带旁瓣约束的LCMP波束形成器设计

为了将有限的干扰功率尽可能集中在主瓣方向、保证干扰的总体效益，可以采用基于LCMP准则对波束形成器进行优化，使得在期望形成干扰波束的方位角上为单位增益的同时，对特定方向附加线性约束，并保证(7)式输出信号功率Py值达到最小。结合(7)式，基于LCMP准则的波束形成器优化问题可以表示为

(12)

式中：C为约束矩阵;f为约束值矢量，约束矩阵和约束值矢量暂时看作未知变量。约束条件CTh=f保证了在期望方向上的无失真响应。当信号通过波束形成器到达阵元并在期望方向形成波束时，假设其没有产生畸变，则得到的信号频谱为

(13)

将信号带宽范围ωi∈[ωmin,ωmax]离散化为Nf个栅格点数，并将(13)式拆分成实部和虚部，则(12)式中的约束条件可以表示为

(14)

利用拉格朗日乘子算法求解优化问题(12)式，得到

(15)

式中：CT=Ad；f=bd.

(16)

另一种方法是在计算自相关矩阵Sxx(ω)时，在期望形成零点的方向φq上包含1个带宽与期望发射信号带宽相同的信号，则在使得hTRxxh最小化的过程中，同样会在期望形成零点的方向形成零点，即将(9)式改写为

(17)

式中：σq为控制参数，0<σq<1.

对基于LCMP准则的波束形成器进行进一步优化，从获得更窄的主瓣宽度和更低的旁瓣电平两方面考虑，进一步提高干扰功率的有效利用率，最直接的方法就是增加旁瓣约束。则优化问题(12)式可以转化为

(18)

s.t.Adh=bd,

(19)

(20)

‖Aφξh‖≤ε,φξ∈SLR,ξ=1，2，…，Nφs，

(21)

(22)

对相关矩阵Rxx进行Cholesky分解，可得

Rxx=VTV,

(23)

式中：V为上三角矩阵。因此有

hTRxxh=(Vh)T(Vh)=‖Vh‖2.

(24)

引入辅助变量η，上述问题可以转化为如下2阶锥形式：

(25)

3 仿真分析

3.1 仿真1

仿真要求为：假设期望在110°方向形成波束主瓣，发射信号频率范围为[1.3 GHz，1.7 GHz]，即干扰波束的频域带宽为400 MHz，主瓣零点波束宽度设定为20°，波束旁瓣对应的归一化总输出功率低于-20 dB.

图2所示为采用传统LCMP准则(未加旁瓣约束)设计的波束形成器与采用带旁瓣约束的LCMP准则，并最终将其转化为SOCP后设计的波束形成器归一化总输出功率对比图。由图2可以看出，采用SOCP进行优化设计的发射波束主瓣零点宽度为20°，波束旁瓣对应的归一化总输出功率均低于-20 dB，即主瓣零点波束宽度和波束旁瓣功率两个指标的设计结果满足了期望实现的干扰波束设计要求。此外，采用SOCP对带旁瓣约束的LCMP准则进行优化后形成的波束图与传统LCMP准则(未加旁瓣约束)形成的波束图相比，可以明显看出，随着副瓣功率的降低，主瓣在一定程度上相应地展宽，即发射功率集中到了主瓣区域。虽然设计结果对整个频域范围内达到了总归一化旁瓣功率小于-20 dB的要求，但从图4所示的空域剖面图可知，仍然存在部分频率分量的旁瓣功率值在一定方位角上略大于预设值。由于在波束优化设计问题中，旁瓣功率和主瓣宽度是一对矛盾的设计指标，在实际工程应用中，当需要所有频率分量的旁瓣功率均低于-20 dB或者其他阈值时，可以通过调整主瓣宽度和旁瓣功率约束参数ε的大小进一步降低整个频带范围内的旁瓣功率。

3.2 仿真2

仿真要求为：在70°、90°和130°方向形成波束零点，其余仿真要求与仿真1中相同。

取零点控制参数σq=0.5，其余主要仿真参数与仿真1中相同，仿真结果如图5和图6所示。

由图5可知，本文给出的优化设计方法能够在期望形成零点的方向形成较深的零陷，其零陷值均小于-50 dB，效果比较理想。此外，增加波束零点，会使发射波束方向图的副瓣性能发生一定畸变。结合图6可知，增加波束零点会导致波束主瓣出现一定程度的展宽现象。

综上所述，本文设计结果能满足预先要求的设计指标，达到了优化设计的预期要求。

4 结论

本文通过在波束形成器的每个阵元通道各自使用1个对应的宽带FIR滤波器建立了宽带雷达干扰数字波束形成结构模型。以获得更窄的主瓣宽度和更低的旁瓣电平为目的，使用带有旁瓣约束式的LCMP准则对波束形成器进行优化设计，并将设计问题的解析形式转化为相应的SOCP形式，降低了优化难度。同时，该方法实现了自适应波束零点。仿真结果验证了该方法的有效性，为雷达干扰宽带波束设计提供了一种思路。