经验为钥，打开思维通透的锁——以《加、减法的意义和各部分间关系》案例研究为例

江西南昌市西湖区教科所 白 晶

【研究的问题】

《加、减法的意义和各部分间关系》的教学是一堂半新不旧的概念课。说它“旧”，学生从一年级开始就学习了加、减法，对加、减法的认识积累了丰富的感性经验。说它“新”，对认识加、减法意义的本质，学生还存在着很大的距离。常态课堂上大家都十分纳闷，学生都会算，怎么就是说不清楚？一节看似简单的数运算概念课，四年级的学生却不乐意运用加、减法意义去分析问题。

本案例旨在通过研究，大量地尝试让学生去说，给学生去试，引学生去想，放手让学生去概括，去辨析。在充分暴露学生数学前概念的“原初思维”的基础上，顺势从他们已有的经验出发，将错误的经验拨乱反正，将片面的经验趋向完整，将缺失的经验逐步充盈，从而主动构建起属于学生自己的数学。在这节概念课里，如何调动学生头脑中数学活动经验的“生长力量”，内化概念，重组与建构新知，让学生的思维“遇见”通透之境？

【关键环节研究实践描述】

一、课前调研，明其迹

达克沃斯在《精彩观念的诞生》一书中说，任何年龄阶段、任何发展水平的任何学生，都是带着自己的观念进入教学过程的，因此，教学的首要任务是倾听学生自己的观念。暴露是为了更好地从学生已有观念入手，在学生认知的矛盾处用力，让思维通透顺畅，走向深处。对此，我们对两所实验校的四年级学生进行了抽样访谈。（以下A类学生为城区学校的学生，B类为城乡交接地段学校的学生）

（一）看“数”联想，调研A类学生

师：给你三个数，你们能发现它们之间有什么联系吗？请你选择其中两个数，编一道数学问题，并说说已知什么，求什么。（教师出示：5、2和7）

师：具体说说已知了什么?要求什么？

从A类同学的访谈中发现，学生们能发现数与数之间的联系，能根据“数的分合”来认识加法和减法。但在根据数据编题环节，学生们大多是结合生活情境去设计加减法问题，思考路径主要是顺向关联。如“已知还剩部分和用去部分，求总数”“已知总数和剩下部分，求用去部分”等这类逆向思维的加、减法问题却很少有学生提出。

（二）猜“数”游戏，调研B类学生

师：老师这里有两张数卡（背面朝上），告诉你们卡片上的两个数相加，和是36，你能知道卡片正面到底是数几吗？

B类学生们虽然不能像A类学生那样积极调动原有对加、减法的认知经验去灵活处理问题，但他们对加、减法之间的联系有一定的理解和把握，会根据具体的数学情境去选择加或减法来解决实际问题。

通过对两类同学的访谈，可大体把握四年级现有学生对加、减法认识的水平，学生们对有关加、减法认识有一定的基础，以往学习的 “数的分合”“一图四式”等数学经验能正迁移引导学生探究加、减法各部分之间的关系。学生头脑中具备根据具体问题情境对“为什么用加法（减法）算？”的说理能力，但要鼓励学生从一般问题中去比较、概括加、减法的意义。因此，充分的课前调研让我们基本确定了教学路径：首先尊重学生对加、减法知识最朴实的认知状态，让学生用自己的语言尝试描述他们头脑中对加法或减法的认识，追溯原生态的认知起点；再为学生提供有关加、减法知识产生的真实生活背景，激活思维，打通学习内容与已有知识和经验的联系，通过环环相扣的问题活动，逐步帮助学生摆脱对象的直观和具体内容，用数学的思维方式将丰富的“生活原料”由博返约，找到知识间的关联，经历数学化的比较与概括，从而内化概念，直追本质。

二、教材加工，畅其径

人教版教材选用 “青藏铁路”这个享誉世界的伟大工程来引出本课教学，不仅开阔了学生的数学文化视野，而且还考虑到数据虽大却不涉及 “进位加”和“退位减”，排除学生计算障碍，引发学生更好地由“加”迁移到“减”，从而凸显加减法之间的联系，展开说理。其良苦用心真是可见一斑。

但这个数学素材对于学生而言，还是十分陌生。如何用好、用足教学素材，服务于数学概念的理解和掌握，是我们致力精专的事情。对此，我们大量浏览与收集有关“青藏铁路”的资料，从中提取有效信息激活学生的“前概念”经验，对教材进行了如下加工：

1.增加介绍青藏铁路的微视频，简要介绍青藏铁路的修建背景、工程意义等，让学生了解其社会价值，为后续新课的展开埋好伏笔。

2.调整例题编排，给更多学生自主探究的空间。

在原有教材例题编排基础上，让学生自己尝试画线段图去分析数量之间的关系；三道例题作“只列式计算，不作答”要求，让学生更好地去关注式与式的比较，突出加、减法算式间的关联。

3.将学生一起总结归纳加、减法各部分间的关系，调整为独立尝试归纳概括，学生可依据以往“一图三式”或“一图四式”的学习经验去迁移探究，极大发挥学生自主学习的能动性。

4.将有关青藏铁路的多元化信息编入习题中，一是进一步丰富学生对青藏铁路这个伟大工程的了解，二是巧妙地将现实题材信息转化为与本节学习内容匹配的数学知识，不仅让学生充分体会数学在生活中的应用价值，同时给学生进一步的深度学习提供了更多的可能。

三、精研创设，活其思

杜威说：“如果我们知道问题是什么，困难在哪里，那么有效的思维就比较容易进行了。”因此在本节课的教学设计中，精心创设问题情境，打通学生经验与学理的通道，从而构建出与经验高效对接的数学课堂。

（一）问题情境一：自主探究，概括加法意义

1.情境引入

出示短片视频，借助课件描述，展现青藏铁路建设的背景与发展，突出青藏铁路是由“西宁至格尔木”和“格尔木至拉萨”的两段路程组成。让学生在了解我国铁路建设发展的同时由此现实情境引入例题第（1）题的学习。

2.审题明义

引导审题：根据短片中的信息编出的这道题，已知什么？要求什么？（根据学生回答，课件同步显示线段图明确题目已知信息和问题）

3.独立解题，自主概括

（1）思考：这道题该用什么方法解答？为什么用加法？

学生课堂回答：要求西宁到拉萨的距离就是把“西宁到格尔木”的铁路和“格尔木到拉萨”的铁路加起来；或把这两段铁路合起来。（此时，教师根据学生回答课件动态凸显线段图中两段铁路，并动态显示两段合起来为西宁至拉萨的全程。顺势明确“两段铁路合起来”即为“合并”，从而揭示“合并”概念）

（2）解题，反馈。根据学生回答板书：814+1142=1956

（3）举例：你们能举几个用加法来解决的例子吗？（结合学生列举的实例，引导思考“在他的例子中是把哪两个数合并？合并成多少？”）

（4）概括：举了这些实例，你们认为什么样的运算叫作加法？

学生回答：加法就是把两个部分合起来；或者加法就是把两个数合起来。教师此时顺势规范学生的表述，揭示加法意义。

（5）应用概念说理，强化与应用概念：根据加法的意义描述“814+1142=1956”是把哪两个数合并？合并成谁？

4.对应概念回顾加法各部分名称

结合加法意义回顾：在加法意义中所说的相加的两个数，我们也把它们叫作什么？（加数）合并成的这个数叫什么？（和）这就是加法各部分的名称。（对应加法算式逐一注明加法各部分名称）

[设计意图]放手让学生解决“西宁到拉萨的铁路长多少千米？”这个问题，以“为什么要用加法计算”来引导学生思考“加法是什么样的运算”。让学生经历 “由把814与1142合并成一个数，用加法计算→举多个加法实例，明确把两个数合并成一个数要用加法算→自主概括出加法意义→运用其意义概念描述加法算式，理解加法各部分名称”的过程。这个过程，充分凭借学生对加法已有认知基础，借力打力地将旧知自然迁移，自主构建新知。既让学生经历从加法的感性认识上升理性概念的全过程，又充分培养了学生抽象概括的能力。

（二）问题情境二：逐层对比，揭示减法意义

1.独立解答，逐步感悟减法意义。

（1）审题解答：将这道加法问题稍作改变，（课件出示例2、例3）编成这两道题，该用什么方法解答？请学生独立完成。

（2）逐一反馈，板书列式。

（3）质疑引导：这两道题目有哪些同学是笔算的？你们为什么不用笔算，你是怎么算的？教师点明可以根据前面的加法来推算这两道减法的得数。

2.逐层对比，尝试概括减法意义

（1）设问：第（2）、（3）题都用了减法，为什么用减法？结合学生回答教师明确：这两题都是已知总长和其中一段，求另一段的长度，所以都用了减法。

（2）第一次对比：观察对比第（2）、（3）题与第（1）题已知信息与问题，感受第（2）、（3）题与第（1）题的已知与未知的变化。

（3）第二次对比：观察对比三题的算式，发现第（1）题是已知两个加数，求它们的和；第（2）、（3）题是反过来，已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数。

（4）小结：通过对比我们发现，第（2）、（3）题都是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数，所以都用了减法。

（5）尝试概括：你觉得什么样的运算叫减法呢？（根据学生回答教师顺势揭示减法意义）

3.对应概念回顾减法各部分名称

结合减法意义回顾：为了表述方便，在减法中，我们把这个已知的和叫什么数？（被减数）其中一个加数叫什么？（减数）另一个加数呢？（差）这就是减法各部分的名称。（对应减法算式逐一注明减法各部分名称）

4.回应开课谈话，再次分享交流

设问：在上课一开始我们就交流了对加法和减法的认识，现在对照今天学习的加法、减法的意义，同学们是不是有了更进一步的理解？谈谈你们的感想。

[设计意图]概念不能植入学生的头脑，要引导学生将概念内化，将原有经验通过调整重组，逐步丰盈起来，实现经验与概念的对接。在突破减法意义这个难点教学中，教师先放后导的教学策略，全面激活学生已有认知经验的触点，比如“为什么不用笔算”“为什么两题都用减法算”等问题触发学生去思考题目间的内在联系。随即分层次的对比观察，从具体情境中感受“已知与未知的变化”，再到脱离情境纯数式的观察比较，为学生概括减法的意义提供有力抓手。

（三）问题情境三：讨论交流，发现加减法关系

1.提问

我们发现减法可从加法引出，那么加法和减法之间有什么样的关系呢？组织学生分4人小组交流讨论。教师巡视参与小组讨论。

2.汇报交流，对话沟通

预设学生反馈：

（1）两个数的和1956，就是减法里的被减数，加数814或者1142，就是减法里的减数或差。或者说，减法里的被减数1956在加法里就是和，减法里的减数或差在加法里就是两个加数。

（2）根据加法想减法时，我们可以用这个和减去其中一个加数，就得另一个加数。

3.归纳小结

在学生讨论交流的基础上，教师强调：加法是将两个数合并成一个数，而减法，就是将一个数，分成两个数，求其中的一个数，数学中，我们就称减法是加法的逆运算。（板书：逆运算）

4.联系旧知，揭示加、减法间关系的数学运用

设问：有关“减法是加法的逆运算”，这个知识我们在以往的学习中其实就曾运用过。大家还记得吗？（鼓励学生说到验算）

课件出示图1。

图1

设问：这道笔算减法，是怎么用加法验算的？

出示图2。

图2

明确：（ ）+9=12；我们可以根据12-（ ）=9来推想未知数是多少。

小结：在我们的数学中，往往就有这么多的“似曾相识”!我们掌握好加法和减法的这个关系，就能更好地解决相关的数学问题。

[设计意图]“逆运算”是数学中的一个重要概念，这里是学生第一次接触。学生经历前面“由加法很快想到减法得数”的铺垫，和两次对比引出减法意义等学习环节，已经积累了丰富的数学思维的活动经验，在此组织学生合作交流，生生对话，相互启发，由加、减法中各数的对应关系得到减法是加法逆运算的结论，促使学生自主构建“逆运算”概念，随后，引导学生回顾这个关系在以往学习中的运用，一句“数学中的似曾相识”，一语道破概念在具体学习中的运用原理，让学生的数学思维从理解走向了深刻。

四、反思+启示，汇其果

早在10多年前，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在基本理念中就明确指出，数学学习要使学生“获得广泛的数学活动经验”。这是我国第一次将经验的认知纳入数学教学和学习之中。《义务教育数学课程标准（2011年版）》出台后，进一步将“数学活动经验”作为课程标准的“四基”之一，其指出，使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验”。这递进式的变化，使我们认识到“经验”对学生的学习，尤其对学生数学水平的提升和数学能力的发展十分重要。

著名哲学家、教育家约翰·杜威在《民主主义与教育》一书中写道：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”在数学教育中，数学基本活动经验可以是使人受益终生的、深深铭刻在头脑中的学数学的精神、数学思考方法，也可以是学数学过程中所遇到的挫折、面对的困难，甚至可以是经历数学活动过程中的发现与感悟。那么，学习的过程就是这些经验的生长和改造，是在经验中，由于经验或为着经验而发展的一个过程，学生从经验中产生问题，因问题而激发他们去探索，从而产生新的思想。因此，在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应该让学生积累丰富而有效的数学活动经验。

那么，如何有效帮助学生积累或获取数学活动经验?通过本案例的研究，我们通过反思，得到的启示有三：

1.以“先前概念”为起点，激活经验

运算教学往往因机械化训练而麻痹学生的数学知觉，在数运算概念课的教学中想激活学生封存已久的知觉，就需要教师细细寻觅学生头脑深藏的那些经验，再顺藤摸瓜去导学。在进入课堂之前，我们要搞清楚学生已拥有的概念结构，不管是促进还是阻碍，都要认真分析，合理利用；以其为源头，引导学生用“熟悉的”去解释 “陌生的”，用“具体的”去理解“抽象的”，使得数学概念变得“熟悉”而“简单”。

2.以“以生为本”为追求，提升认识

由于学生的文化环境，自身思维方式等不同，他们的经验往往具有个性差异，肤浅、片面、零散甚至错误的经验或多或少地存在着，因此，要立足学生，尊重他们原有的认知经验，不过于强调对数学概念文本的表面理解。可以先鼓励学生用自己原生态的，甚至有些粗糙的语言诠释对数学意义的理解，再引导他们将自己的理解与概念表述进行比对，打通知识间的联结，让他们经历“数学化”过程后，自然修正或是重组经验，提升认识，实现数学形式化表达，感悟数学概念的本质。

3.以“深度理解”为本源，发展学力

经验的激活与调整过程，是感性认知到理性思考的升华。当学生建立广泛而牢固的知识联系，形成具有稳定性和清晰性的知识结构之后，可以设计多维度的现实问题情境，让学生将数学概念加以灵活运用，内化对概念的理解，逐步推进浅层学习向深度理解的进程，促进新经验提升，实现思维的“再创造”，最终达到发展学生的学习能力。

数学课堂理应灵动、智慧，学生数学学习过程应当是富有个性的且发展终身的。课堂教学教师要重视引导学生通过经历、内化、概括、迁移等活动不断地获取和积累各种经验，分析和理解经验、反思和提升经验，最终达到内化，形成学生可持续发展的能力。如张奠宙教授所说，让这些基本活动经验对学生在整个数学学习过程产生“正迁移”的影响,帮助学生在以后的数学学习、日常生活中养成数学思维习惯,即有一颗“数学的头脑”，从而构建出经验对接的主体课堂，成就学生心中“有趣而熟悉的数学”。♪