中考数学(北京卷)评价改革再述——对2018年北京中考数学试卷的解析

王亮亮

(北京教育考试院 100083)

1 引言

笔者在文[1]～[3]中介绍了北京中考数学学科“过程与结果”并重评价体系的建立过程，并在后续文章中阐述了评价体系实践与完善的过程.在上述过程中，深入研究，力争处理好三对关系：一是考试改革与课程标准的关系；二是考试改革与教研改革的关系；三是考试改革与教学改革的关系.课程标准是考试改革的出发点，教研改革是考试改革的助力剂，教学改革是考试改革的落脚点.其中，课程标准是考试改革、教研改革、教学改革的基石，准确把握课程标准的实质性变化是保证改革实施的必要前提.关于课程标准的实质性变化在文[3]中进行了概述，但未详细介绍如何在考试改革中体现课程标准的实质性变化.本文旨在从如何落实课程标准实质性变化的角度切入，通过分析2018年北京中考数学试卷，梳理、总结北京中考数学落实课程标准理念和精神的经验，为后续改革积累宝贵的经验财富.

2 评价改革再述

2.1 应用意识

长期以来，无论是教学还是考试，对数学应用的理解较为片面，将数学应用简单地定位在了讲几个应用题.考试改革须正视此问题.对于应用意识要把握住三个层次：一是学生能积极主动地应用数学知识思考实际问题；二是学生能积极主动地将实际问题抽象成数学问题；三是学生能积极主动地利用所掌握数学思想方法等验证数学问题的合理性，并探索其应用价值.三个层次都是用“积极主动地”进行描述，这说明应用意识是一种认识数学、体验数学和形成正确数学观的过程，从本质上说是数学思维形成的过程.

例(2018年15题)某公园划船项目收费标准如下：

船型两人船(限乘两人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小时)90100130150

某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元.

解析此类问题是学生常见的生活问题，题目设置的目的是让学生用数学的思维看待生活中的问题.在解决实际问题的过程中，既能生活情境数学化，也能数学问题生活化.

首先，利用数学知识思考实际问题，将实际问题抽象成数学问题.为使租船的总费用最低，尽可能让租船的数量少，18名同学可以乘坐2条8人船和1条2人船.这是将实际情景数学化的过程，并在此过程中建立了解决实际问题的数学模型.其次，将数学问题生活化，验证数学问题是否符合生活实际.通过分析收费标准，不难发现，两人船“90元/小时”的收费标准“性价比”低，对每人的收费标准(45元/人/小时)要高于其他三类船的收费标准.在保证租船数量最少的情况下，18名同学可以乘坐1条8人船、1条6人船和1条4人船.通过对比两个方案，可推断出8人船、6人船和4人船的方案使得租船的总费用最低.

试题“错答”率为17.64%(未答390或380)，反映出这部分考生缺乏用数学思维看待生活问题的意识，生活情境数学化的意识薄弱；反映到课堂教学方面，应用意识是处于一种“失落”的状态，对其重视程度不够，在课堂上可能只是注重了解题过程，忽略了学生的“实践性”，没有让学生独立思考并解决问题，缺乏将实际问题数学化这一思维过程.答“390”的考生占27.35%，对G1～G10横向分析发现，在各组中答“390”的人数相当，尤其是在高分段组中，人数并没有显著下降.这反映出“学生能积极主动地利用所掌握数学思想方法等验证数学问题的合理性”的意识薄弱.

表1 2018年15题作答情况数据统计表(人数)

(注：文中的组G1～G10是按照考生本科目成绩升序排列后，根据人数平均分为十组)

2.2 数据分析观念

2.2.1 统计

长时间以来，计算平均数、画统计图(表)是课堂教学、学生学习和考试评价的主要内容，但其非统计的核心.义务教育阶段，数据分析观念是统计与概率学习的核心.笔者在文[4]中详细地阐述了统计在初中阶段的要求，特别地指出数据分析观念是需要学生在亲身经历统计全过程中培养的对数据的领悟，根据数据进行推断，并在统计全过程中感悟统计思维与思想方法.

例(2018年25题)某年级共有300名学生.为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.A课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：

b.A课程成绩在70≤x<80这一组的是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c.A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083

根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出表中m的值；

(2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 (填“A”或“B”)，理由是 ；

(3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数.

解析此类试题以统计思想为引导，通过重现统计全过程，考查数据的收集、整理、描述、分析，选用恰当的统计量，进行统计推断，并解释推断结果.试题设计围绕调查、随机、推断和量化四个统计思想展开，进行数据分析(描述性统计分析和推断性统计分析)，侧重于利用样本的数据推测总体的情况，体现样本估计总体的统计基本思想.

首先，读取数据.对于数据的读取不能单单读数据本身，应当是数据之间的读取，找到图表中数据的关系. 频数直方图表示连续分组数据，但原始数据信息丢失.对于A课程的中位数，需结合A课程成绩在70≤x<80这一组的数据分布情况进行读取.其次，在读取数据的基础上，结合数据的统计意义，通过分析数据进行统计推断和推理，并回答具体的问题.最后，利用样本数据推测总体的情况.

表2-1 2018年25-1题作答情况数据统计情况(人数)

表2-2 2018年25-2题作答情况数据统计情况(人数)

对表2-1中组G1～G10横向分析，得0分与2分的人数呈现出“两极”分化的特点.前30%、中间40%和后30%考生中，得0分考生分别占22%、49%、79%；结合表2-2中组G1～G10横向分析，两问得分情况分布.上述数据从表上面反映出的是对频数直方图的作用不清，数据读取只是单纯地读数，数据间加工能力不强，通过数据来进行推断的能力欠缺等，实质上反映出的是经历统计过程的欠缺，缺乏统计思维，更缺乏用统计的方法发现、分析和解决统计问题的能力.例如，对于第(2)问中平均数和中位数的理解，这些量都是刻画一组数据集中趋势的统计量，有了这些量，不仅可以描述对象的集中趋势，还可以用来对不同的总体进行比较，对于这些量的认识，不仅是学习如何计算，而是要设计合适的统计过程，在统计过程中去了解它们是如何描述数据集中趋势的，在数据分析过程中理解它们具体的统计意义.

2.2.2 概率

概率是研究随机现象的.义务教育阶段概率学习更重要的目标是体会概率的意义和作用，而不仅仅是计算一些事件发生的概率，不能将这部分内容看成是单纯计算内容，而应该更加关注在实际问题中对概率意义的理解.

例(2018年14题)从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分钟)的数据，统计如下：

公交车用时的频数 公交车用时线路 30≤t≤3535

早高峰期间，乘坐 (填“A”，“B”或“C”)线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.

解析此类试题考查核心是数据得随机性:一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会不同；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律.

表3 2018年14题作答情况数据统计情况(人数)

从表3中可以发现，试题难度不大.试题设置对教学导向有二：第一，让学生明确学习概率的最终目的是解决实际问题，知道在现实生活中，有许多问题可以先调查数据，通过对数据的分析得到结论，让学生感悟数据的随机性，数据较多时具有某种稳定性，可以进行“概率决策”.第二，引导教学运用统计思想教授随机.在这一过程中既能体会随机，又感受到数据中蕴含的信息，并根据数据信息进行规律性推断，虽然不能保证估计得完全一致，但是能保证在一定试验次数下，估计值与实际值相差不大的可能性是很大的.这也是这种推断背后的科学依据.

2.3 尺规作图

很长时间以来，尺规作图被归为“数学基本技能”类，也就是按照一定的程序与步骤进行运算、画图、绘制图表等，只强调操作性.对于“尺规作图”，要像证明一样做到“言必有据”，这种要求有助于发展学生的理性精神，应当予以充分重视.

例(2018年17题)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线l及直线l外一点P.

求作：直线PQ，使得PQ∥l.

作法：如图，

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；

②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：∵AB=______，CB=______，

∴PQ∥l( )(填推理的依据).

解析此类试题从课堂教学的角度呈现了学习“尺规作图”的一般过程.步骤1：写出已知条件和求作图形.应当把已知的线段或角画出，并用字母表示.步骤2：求作图形.应当说明是哪些边和角构成的图形.步骤3：画草图分析.探索作图的方法.步骤4：作法.要清楚简要地叙述作法.步骤5：证明.证明所作出的图形是符合条件和要求的.其中，其中1、2、4、5这四步缺一不可.课程标准要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法”.这说明“尺规作图”不要求写出“已知”、“求作”，但强调了作图要有根有据，反映出对“尺规操作”的要求不能仅仅停留在操作层面，还要搞清楚作图过程中的“因、果、由因得果的依据”，并且能有条理的表达作图过程中的逻辑.

2.4 函数

在义务教育阶段的数学课程中，没有系统全面提出映射，函数三要素，函数的性质(如单调性，奇偶性)等有关函数的理论问题及相关概念，但结合具体的函数，须有效地渗透，并逐步解释函数的本质特征—联系和变化，以及基本思想方法.但很长一段时间以来，函数的关注点在引入形式化的函数定义，图象与性质等具体内容上，忽视了学习函数的主要目标：函数是研究运动变化的数学模型，与实际的联系十分紧密，它来源于实际又服务于实际，从实际中抽象出函数的有关概念，又运用函数解决实际问题.函数的图象与性质是函数理论的主体，但须把握函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，抓住变化与对应的思想是函数的基础，也应是函数学习的主线.

例(2018年24题)如图，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC.已知AB=6 cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm .

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

x/cm0123456y1/cm5.624.673.762.653.184.37y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；

(3)结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm.

解析此类试题从具有几何背景的问题出发，从运动与变化的角度，采用取点，画图，测量，填表的方法，对数量关系进行抽象和梳理，由常量过渡到变量，概括出变量间关系的共同特征，引出解决问题的函数模型；通过建立坐标系，描点，画函数图象，领会函数图象具有直观反映和描述函数的变化规律的工具作用，研究函数的性质；重新审视问题，利用函数的本质特征，结合函数图象，解决问题.

义务教育阶段对函数性质的研究只是初步的，但是有限度的研究，已经体现出从函数的数量特征以及图象的几何特征来研究每一类函数，并利用函数的性质及图象解决问题，体现了数形结合思想是研究和解决函数问题的基本思想和方法.通过分析表4数据，不难发现，得1分考生占比很大，主要分布于组G1～G7；得2分考生主要分布于组G5～G9；得3分考生占比最小，主要分布于组G8～G10.此问很好地实现了区分功能，但从另外一个角度来看，结合函数图象，利用属性结合思想解决问题的能力不够，这一点应该引起足够的重视.

表4 2018年24-3题作答情况数据统计情况(人数)

3 结束语

本文从课程标准实质性变化的角度切入，从核心概念、几何、统计与概率、函数等方面，提出存在问题，通过分析试题，结合数据，进行深入思考，提供解决问题的方案，既是对落实课程标准理念和精神的总结，更是提出了教学改革、教研改革和考试改革共同努力的方向和目标.北京中考数学学科的改革还在不断地进行探索与完善之中，思考之处未必文章若有不妥之处，请批评指正.