联系一些特殊函数的Hilbert型积分不等式及其算子范数表达式

刘 琼

(邵阳学院 理学院, 湖南 邵阳 422000)

0 引 言

(1)

这里常数因子π是最佳值. 不等式(1)在分析学及偏微分方程理论中应用广泛[1-2]. 目前, 关于Hilbert型积分不等式及其推广的研究已取得许多成果[3-13]. 杨必成[14]给出了一个新的具有指数函数核的Hilbert型积分不等式:

(2)

1 预备知识

下面参考文献[15], 给出一些特殊函数的定义.

1) 设复数s的实部Re(s)>0, Gamma函数Γ(s)和不完全Gamma函数Γ(s,α)分别定义为

(3)

(4)

2) 设u,v>0, Beta函数B(u,v)定义为

(5)

3) 设α,β,z>0, 合流超几何函数(又称Kummer函数)1F1(α,β,z)定义为

(6)

这里

由式(6), 当0<λ<4-μ时, 有

(7)

4) Whittaker函数M(k,m,z)定义为

(8)

由式(7),(8), 有

(9)

设0<λ<2-μ, 由式(5),(9), 可得

设0<λ<2-3μ, 令λt=u, 由式(4), 可得

(11)

则

ω(λ,μ,x)=ω(λ,μ,y)=C(λ,μ),

其中

(12)

证明: 令xy=t, 由式(10),(11), 可得

类似可得ω(λ,μ,y)=C(λ,μ).

则有

证明: 易得

2 主要结果及应用

则有

这里常数因子C(λ,μ)(同式(12))是最佳值.

证明: 由带权Hölder不等式[17]和引理1, 有

如果式(16)中等号成立, 则存在不全为零的常数A和B, 使得

在(0,∞)×(0,∞)内几乎处处成立, 于是存在常数C≠0, 使得

Axp(λ+μ)/2fp(x)=Byq(λ+μ)/2gq(y)=C

C(λ,μ)(1-o(1))

令ε→0+, 得K≥C(λ,μ), 与K

定理2在与定理1相同的条件下, 有

(17)

这里常数因子Cp(λ,μ)是最佳值, 且不等式(17)和不等式(15)等价.

设

则当n≥n0时, 由式(15), 可得

由式(18)有

令n→∞, 即有

表明应用式(15),(18),(19)取严格不等式号的条件均满足, 因此不等式(17)成立.

另一方面, 设式(17)成立, 由Hölder’s不等式, 有

图1 λ,μ的取值范围Fig.1 Value range of λ and μ

即式(15)成立, 所以式(17)与式(15)等价.

如果式(17)的常数因子不是最佳值, 则由式(17)可知, 式(15)的常数因子也不是最佳值, 与定理1的结论矛盾, 所以式(17)的常数因子Cp(λ,μ)是最佳值. 证毕.

下面给出简单应用. 在式(15),(17)中选取一些合适的参数， 借助MAPLE数学软件计算C(λ,μ)的值, 可得文献中的一些结果及一些新的有意义的不等式. 参数值λ,μ的取值范围如图1所示.

(20)

这里常数因子π是最佳值.

(22)

例3取λ=1,μ=-1,p=q=2, 计算式(12), 有

C(1,-1)=1+e-1.

3 算子表达式

ψ1-p(y)=y(p/q)[1-q(λ+μ)/2].

定义如下赋范线性空间:

由式(17), 有

(25)

根据式(25), 算子T是有界的, 即

又因为常数因子C(λ,μ)是最佳值, 故‖T‖=C(λ,μ).

定理3由定理1和定理2, 不等式(15),(17)可表示成如下算子范数形式：