例谈高中数学一题多解

2018-11-28陈艳

名师在线 2018年30期

关键词：数学题一题方程

陈艳

（江苏省南京市燕子矶中学，江苏南京 210000）

引言

高中数学知识具有较强的抽象性和复杂性，学生在学习过程中往往会存在诸多方面的问题，会碰到各种各样的难题，教师应该让学生学会“一题多解”的方法，使他们逐渐感到学习数学的乐趣，进而提高学生学习的积极性与主动性。

一、温故知新法，提高学生的一题多解能力

在高中数学教学中，要想有效培养学生的一题多解能力，不仅需要学生能灵活运用数学新知识，还需要学生结合已经掌握的相关数学知识，借助温故而知新的方式，把新旧知识有机结合在一起，从而逐渐提高学生的发散思维能力，最终为顺利、正确地解答出数学题目做好准备[1]。

例题1：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范围。

法1：旧知高一的不等式性质：设2x-3y=m(x+y)+n(xy)=(m+n)x+(m-n)y，则 m+n=2 且 m-n=-3，得所以

法2：新知高二线性规划：根据已知条件得4个不等式可得到可行域，令，即可看出所求取值范围和直线的纵截距有关，代入(2，-1)，纵截距最小而此时；代入（2，3），纵截距最大而此时，故 -5≤2x-3y≤7。

我们从上述例题的两个解法中可以得知，只有在学生掌握题目解法的相关知识的前提下，才能使他们在解答数学题目的时候能从更多角度思考与分析，从而可找出更多的解题方法，实现一题多解。在实际的解题过程中，不仅需要教师引导学生对新学习的数学知识进行灵活运用，还需要教师结合学生已经掌握的解题方法做进一步探索，以便找出更加便捷的解题方法。借助温故知新解题方法的应用，可以使学生较好地巩固已经学习过的数学知识，还可以使学生将多个数学知识点融合在一起，以便探究出更多视角的解题方法。

二、举一反三法，提高学生的一题多解能力

在具体的解答高中数学题目的过程中，应用一题多解教学方法可以使学生实现温故而知新，还可以让学生对同一个题目提出多种解题思路，以实现举一反三的教学目标。换句话说，在高中数学解题教学中，教师在引导学生解答数学题目的时候，可以引导学生对类型相同题目的有效解题方法进行及时归纳与总结，从而可以更加全面、系统地掌握这一类型数学题目的解题思路与方法，以推动学生解题能力及数学思维能力的快速发展。在用一题多解教学法组织高中数学解题课堂活动的时候，教师需要引导学生总结同类题目中的相关知识点、规律及定理，在获得这类题目的解题心得之后，就可以促进学生解题能力的提升[2]。需要注意的是，教师应善于从多个角度启发学生，让他们能多层面地看待数学问题，以帮助他们更好地掌握与解题思路有关的各个知识点。

例题2：已知直线x+2y-3=0和圆x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q两点。若OP⊥OQ（为原点），求m的值。

法1：由OP⊥OQ想到向量数量积为0，故设P（x1,y1），Q（x2,y2），联立直线和圆方程得出韦达定理y1+y2=4，。又因为所以即(3-2y1)(3-2y2)+y1y2=9-得 m=3。

法2：由OP⊥OQ想到三点共圆，又直线与圆交于P，Q两点想到圆系方程，故设经过P，Q两点的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0，过（0，0）得m=3λ，整理方程得圆心为，在直线x+2y-3=0，代入解得λ=1，即m=3。

法3：由OP⊥OQ想到三点共圆，且PQ为此圆和已知圆的公共弦，故已知圆心设为，以PQ为直径的圆设为圆N，则，与已知直线联立得N（-1,2），即为圆N的半径，圆N：与圆M的方程x+2y-m=0相减得公共弦方程即为已知直线，故m=3。

法4：同法3得N（-1,2），由PQ中点为N，设P（a，b），Q（-2-a，4-b）代入直线方程得a+2b-3=0。又由得a(-2-a)+b(4-b)=0，结合上式得a=3，b=0,代入已知直线方程，得m=3。

本题还可以通过垂直想到几何直角三角形斜边中线等于斜边一半去计算，但计算较烦琐，故不再赘述。从本题的解题方法能够得知，思路各有特点，在应用数学知识方面也有较大差异。借助对学生解题思路的科学延伸，可从多个层面与视角求解题目，熟练掌握各种解题思路之后，就可实现举一反三，以便找出更便捷的解题方法，有助于学生解题能力的提升。