“另眼”待题

常文武

我的侄女在加拿大念高中，最近告诉我她在参加一个数学竞赛，六道题目中最难的就是这样一道：问1～9这9个数字构成的多位数（2位以上）中，从左念到右，数字递增的多位数有多少个？

对这道题，命题者提供的解法很新颖，只要考虑集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9）的所有非空子集的个数即可.因为任何该集合的非空子集中的元素必可按升序排序，这样就可以排出一个多位数，其数字是递增的.注意到这样的数在取定子集后是唯一的，扣除空集和{1}，{2），{3），{4}，{5），{6}，{7}，{8），{9}这九个单点集本身，答案就是29 -1 -9=502.

解答中用29来计数9元集合的所有子集，用了高中知识幂集的概念.但也可以绕过幂集的概念去理解它：对于从{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取出的任何集合而言，它的产生等同于回答了九个“Yes-or-No”問题.就是说，依次问第i个元素是否要出现在子集中？那么这九个“Yes-or- No”问题就构成了产生一个子集合的9个步骤.用乘法原理就可以算得答案应该是29.

我们还可以用加法原理来计算.

可见数学问题的求解方法往往是条条大路通罗马的.

再来看看同场考卷中另一题.经改编略去一些哕嗦的话，该题相当于问：

如果不定方程3χ+4y=N在正整数范围内求解只有唯一一组解，那么N的最大可能值是多少？

答案是24，相应的χ，y的值是4，3.

为何N不能大于24了呢？答案的提供者这么说：现在N=24是4个3和3个4的和，要是再大些的N，必定需要使得3的个数或4的个数增加.当3的个数上升到5个或更多，就可以匀出4个3来当它是3个4，充实到4的个数中，导致此解有了二义性.同理，当4的个数超过3，也可以匀出3个4来当它是4个3，充实到3的个数中，也导致了解的不唯一.所以24是能够满足题设的最大值.

这个解法通俗易懂，可是想到这么来解还不太容易.

最直接的想法是把N当成是直线方程3χ+4y=N的参数.所问即当这条直线在第一象限内只经过唯一一次整格点，求N的最大值.

我们用几何面板来探究一下这个问题.

“触礁”提示我们，横坐标或纵坐标都不能大过某个值！细研究还发现，直线经过的两个点的坐标此消彼长.横坐标加4，纵坐标减3；或者反之，横坐标减4，纵坐标加3.

至此，我们也探究出答案来了.比（3，4）还远离原点的其他点一定不是孤立的！

当然，更专业的办法是解不定方程.根据数论的一个定理，这个方程在整数范围内的全部解就是：χ=-N+4k，y=N-3k，k∈Z.由于χ，y都要是正整数且k唯一，故

我们分析了两道题，先把一个复杂问题简单化，再把一个简单问题“复杂”化.为的是阐述一个道理：条条道路通罗马，其中必有最短路.若我们能常以“另眼”看待手边经讨的颢目，你的解颢枝能必有大的突破.