时变偏Granger因果关系检验及其应用

高 伟，郭思圻，郑佳伟

（西安财经学院 统计学院，西安 710100）

0 引言

传统的Granger因果性检验方法基于时间不变模型，不能捕捉时间序列的动态行为。近年来，时变Granger因果性的研究得到了发展，Ding等（2000）[1]假设序列在短期时间段是平稳的，研究了模型拟合算法得到时变Granger因果性。Hesse等（2003）[2]基于自适应递归拟合带有时变参数的VAR模型，用递归最小二乘算法，研究了Granger因果性的线性递归时变估计。Li等（2012）[3]提出的时变Granger因果性线性估计方法允许检测瞬时因果联系，推广了Granger因果性的非线性参数方法，研究多维时间序列时变因果联系。Zhao等（2013）[4]引入基于参数的建模方法描述时变线性和非线性Granger影响，追踪其随时间的变化，进行模型选择和预测。Lu等（2014）[5]提出了时变Granger因果性检验统计量，检验单向、双向和同期因果影响，用于检测全球原油市场的时变信息流动，但仅是关于两个序列之间的检验，没有考虑到其他变量的影响。而国内关于动态因果关系研究较少，本文主要研究动态直接Granger因果性的检验方法，将两个序列间的Granger因果性推广到多维时间序列情形，检验给定其他序列条件下序列间的直接Granger因果关系。

1 时变偏Granger因果关系

1.1 时变偏Granger因果关系定义

定义1：设p维时间序列Xt= （X1，t，X2，t，…Xp，t）′，t=1，2，…，T。考虑分量序列Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ，2，…p}之间的偏Granger因果关系，假设：

其中为 在t-1时刻 ，序 列{Xm，t}，m=1，…，j-1，j+1，…，p所包含的的信息集是给定t-1时刻的信息条件下Xi，t的条件期望；ui，t为残差序列。

定义t时刻uj，t对ui，t,ui，t对uj，t的滞后k∈{0，1，2，…}（非负整数）阶偏相关系数如下：

（1）如果 ∃k，使得ρij，t（k）≠0 ，则在t时刻Xj是Xi的偏Granger原因，称Xj和Xi之间存在单向偏Granger因果关系，记为Xj→Xi。

（2）如果 ∃k，使得ρji，t（k）≠0 ，则在t时刻Xi是Xj的偏Granger原因，称Xi和Xj之间存在单向偏Granger因果关系，记为Xi→Xj。

（3）如果 ∃k，l，使得ρij，t（k）≠0 ，ρji，t（l）≠ 0,则在t时刻Xj与Xi有双向时变偏Granger因果关系记为Xi↔Xj。

由定义1的式（1）和式（2），对于考虑Xi，t和Xj，t之间的偏Granger因果关系，残差ui，t为去掉除Xj，t外其他变量过去值的影响后，序列Xi，t的残差；残差uj，t为去掉除Xi，t外其他变量过去值的影响后，序列Xj，t的残差。如果给定所有其他变量条件下，Xj，t的过去对Xi，t有影响，则这部分信息将包含在残差ui，t中，导致残差序列ui，t和uj，t之间存在相关关系。如果给定所有其他变量条件下，Xi，t的过去对Xj，t有影响，则这部分信息将包含在残差uj，t中，导致残差序列uj，t和ui，t之间存在相关关系。

1.2 时变偏Granger因果关系检验

考虑Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ， 2，…p}之间的时变偏Granger因果关系，根据定义1，需要计算t时刻随机变量ui，t和uj，t之间的相关系数。由于时间序列数据的特殊性，在一个时刻只有一个观测值，对于平稳时间序列，t时刻随机变量的统计量常结合t时刻前后观测值来进行估计，即选择合适的时间区间[t-S+1，t]内的观测值，计算样本统计量。

另外一个需要考虑的问题是滞后值k∈{0，1，2，…}（非负整数）的选择，由于观测时间的影响，不可能得到所有滞后阶数上的样本相关系数，只能根据一部分滞后阶数的结果进行判断。一般考虑构造一段滞后值（如k=1，2，…S-1阶）上的相关系数的函数作为检验统计量推断Granger因果关系[6]。下面介绍具体方法和步骤。

不失一般性，假设要检验分量序列X1，t和X2，t之间的时变偏Granger因果关系，由定义1，首先建立VAR（q）模型，其中q为给定的最大滞后值：

分别得到X1，t和X2，t给定其他分量序列（分别为除X2，t和X1，t外）滞后影响下的标准化残差序列u1，t和u2，t，t=1，2，…，T。

为判断时变Granger因果性，Hong（2001）[6]提出Rolling子样本上的Hong检验方法，本文将的方法应用到时变偏Granger因果性的检验。

对于选定的子样大小参数S，S＜T，计算抽样区间[t-S+1，t] 内u1，t和u2，t的滞后k阶样本互协方差：

计算u2，t对u1，t的滞后k阶样本互相关系数：

u1，t对u2，t的滞后k阶样本互相关系数：

其中C11，t（0，S），C22，t（0，S）为u1，t和u2，t的子样本方差，r12，t（k，S），r21，t（k，S）称为Rolling偏相关系数。

Hong（2001）[6]证明，如果序列u1，t和u2，t是相互独立的且存在2阶矩，则：

基于以 上定义的 Rolling 偏相关系数r12，t（k，S）和r21，t（k，S），构造 Rolling Hong 检验统计量，定义t时刻X2→X1的单向Rolling Hong检验，判断单向时变偏Granger因果关系：

定义t时刻X1→X2的单向rolling Hong检验统计量：

定义t时刻X2↔X1的双向Rolling Hong检验，判断双向时变偏Granger因果关系：

其中K（x）是核函数，M是一个正整数,C1S（K），D1S（K），C2S（K）和D2S（K）按下面方法估计[7]：

Hong（2001）[6]证明，在合适的正则化条件下，如果序列X1，t和X2，t相互独立，则Rolling Hong检验统计量服从渐近正态分布。可以证明，类似的结果对于本文的偏相关统计量仍然成立，即：

根据文献[7]，本文实证研究中核函数选择Barttlett内核：

Hong（2001）[6]指出,Rolling样本S的大小影响检验的有效性，并提出用Belle（2008）[7]的方法计算S，本文采用同样的方法选择S=100。

综合上述结果，时变偏Granger因果关系的检验步骤如下：

步骤1:建立VAR模型，计算模型的标准化残差；

步骤2:计算ui，t的滞后k阶相关系数ri，t，i=1，2 ；

步骤3:根据确定的子样大小参数S，核函数K（x）和参数M，计算时变偏Granger因果关系检验统计量和的值；

步骤4:判断t时刻因果关系的存在性，显著性水平α=0.01，若（S）＞ 2.33，i=1，2;（S）＞2.33，则称t时刻对应的单向（双向）偏Granger因果关系是显著的。

2 实证

2.1 数据来源及预处理

本文选取2010年1月5日至2015年7月23日上证指数、深证指数、恒生指数的日收盘价数据作为原始数据，共1345组数据，数据来自于搜狐财经。

用Pt表示第t天股票市场的收盘价格，计算每日对数收益率Rt：

图1 上证股市、深证股市和香港股市日收益率数据图

从三个股市的日对数收益率序列图1可以看出，上证股市、深证股市和香港股市的日收益率波动整体上不是太大，在2015年之后有一段时间的大幅度波动。

2.2 时变偏Granger因果关系检验

用提出的偏Granger因果关系检验方法对上证股市、深证股市、香港股市的日收益率进行分析。并且和Rolling Hong基于两个序列的检验结果进行比较。结果见图2。

图2 时变Granger因果关系检验结果

观察图2中数据的结果，可以发现：

（1）上证综指与恒生指数的Roling Hong检验的结果与时变偏Granger因果关系检验的结果相比，由图2（a）可以发现运用时变偏Granger因果关系检验方法检验的上证综指对恒生指数的单向因果关系比运用Rolling Hong检验方法所检验出的结果要小很多。图2（b）和（c）表明恒生指数对上证综指的单向因果关系、两指数的双向因果关系都没有明显的不同。结合图2（f），上证综指和深证成指有着显著的双向因果关系，所以，当在研究上证综指与恒生指数之间的因果关系时，深证成指是一个很大的影响因素。当剔除掉深证成指的影响之后，上证综指对恒生指数的单向因果关系不再显著，表明两个序列的因果关系检验结果收到第三个变量的影响，而时变偏Granger因果检验可以剔除其他变量的影响，更客观反映两个变量之间的直接关系。

（2）图2（d）、（e）、（f）表明上证综指与深证成指的Rolling Hong检验的结果与时变偏Granger因果关系检验的结果基本相同，没有特别明显的变化，说明沪深股市的变化受香港股市等外来因素的影响很小，和朱宏泉等（2001）[8]的研究结果一致。

（3）深证成指与恒生指数的Roling Hong检验的结果与时变偏Granger因果关系检验的结果相比和上证综指与恒生指数的结果相似，此处略去。

3 结论

本文引入了偏相关的方法，将Lu等（2014）[5]提出的两个序列间时变Granger因果关系的rolling Hong检验方法进行推广，研究两个时间序列给定所有其他分量序列条件下的动态Granger因果关系。应用到中国股市的结果表明，时变偏相关Granger因果关系检验得到的结果均比Rolling Hong检验研究出的结果要稳定，时变偏Granger因果关系检验方法相对于传统原始的Granger因果关系检验，剔除了其他变量的影响，研究两个序列之间直接的动态Granger因果关系。