洛必达法则应用探析*

摘要：微积分中对洛必达法则的问題求解应用层次较多，对于简单的问题学生能利用公式进行快速求解。但是，当遇到稍微复杂点的题目，解决的难点随之加大，甚至无从下手。在学习过程中，应从公式定义出发，分析公式应用条件，探究应用技巧，达到灵活应用的目的。

关键词：极限；洛必达法则；应用

1 洛必达法则的定义

定义1：求未定式 型的极限

洛必达（LHospital）法则Ⅰ：若函数f（x）与g（x）满足条件：

⑴

⑵f（x）与g（x）在点x0的某一空心邻域内可导，且g（x）≠0；

⑶

则

定义2：求未定式 型的极限

洛必达（LHospital）法则Ⅱ：若函数f（x）与g（x）满足条件：

⑴

⑵f（x）与g（x）在点x0的某一空心邻域内可导，且g'（x）≠0；

⑶

则

特别的：在法则（Ⅰ）和法则（Ⅱ）中，把x→x0改为x→∞，仍然成立.

2 应用洛必达法则的解题步骤

利用洛必达法则进行题目求解时，可采用如下步骤进行：

（1）明确题目的类型是 还是 型的未定式；

（2）分子分母分别求解后再判定极限类型。若不再是 和 就利用一般的极限求解方法进行求解。若还是 或 之一，则再次应用洛必达法则进行求解。

（3）依次循环步骤（2），直至极限求得。

3 习题分析

（1）常见极限的求解问题

例1

分析：当x→0时，x2→0，sin2x→0均趋近于0，所以该极限为 型。

则

例2

分析：该题可采用两个重要极限中 的结论进行构造求解，但是解题过程相对复杂：

通过分析，当x→0时，sin2x→0，sin3x→0均趋近于0，所以该极限为 型，便于计算。

则

例3

分析当 均趋近于+∞，所以该极限为 型。则，

（2）应用拓展

1）既然洛必达法则可以解决 和 这两种类型的比值极限，那么借助这个方法可以解决无穷小的比较问题。

例4 当x→0时，cosx-1与x2是什么无穷小？

分析：当x→0时，cosx-1→0，x2→0所以可利用 型极限的求法，判定两者的比值极限，进而得到结论。

所以，当x→0时，cos-1与x2是同阶无穷小。

2）洛必达法则不仅可以用来解决 型和 型未定式的极限问题，还可以用来解决 等类型的未定式的极限问题。求这几种未定式极限的基本方法就是设法将其转化为 或 型未定式，即可用洛必达法则求极限了.

例5

分析：这是一个 型的未定式，设

可以先求得 的极限，再利用 得到最终答案。

解： 利用 型洛必达法则求解，得到 。因此，

4 总结

使用洛必达法则，应注意如下几点：

（1）必须检验是否属于 或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；

（2）如有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；

（3）当 不存在（不包括∞的情况）时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限.

参考文献：

[1]叶永春等.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]陈广生.高职院校《高等数学》课堂教学最优化研究[J].大众科技，2010，（12）.

[4]熊庆如.高等数学[M].西安：西安交通出版社，2015.

作者简介：张延利（1980.9-），男，山东莱芜人，硕士，讲师，从事高等数学教学

基金项目：泸州职业技术学院2015年度院级教改项目（JG-201504）；泸州市职业教育研究中心2016年度研究课题（LZJY-2016-18）