也谈虚位移原理中坐标系的选取

葛大丽

摘要：用虚位移原理求解力学体系的平衡问题时，坐标系应尽量建立在固定参照物上。

关键词：虚位移原理；坐标系；选取

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）47-0196-02

虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，被表述为：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零[1-2]，该原理求解理想约束的力学体系的平衡问题时，约束反力自动消去，因此可很简单地求解主动力在平衡时应满足的条件，其解析表达式为：

文献[3-5]讨论了应用虚位移原理时广义坐标的选择问题。周靖[6]认为用虚功原理求解力学体系的平衡问题时，尽量选择角量为广义坐标，并选择建立在固定参照物上的固定坐标系。薛艳霞[7]推导出了已知一点的虚位移在2个方向或3个方向的投影时，该点虚位移在其他方向投影的计算公式。

在应用虚位移原理解析法求解力学体系的平衡问题时，坐标系的选取问题至关重要，若选取不当，会导致错误结果。

下面以自由度为1个的例子讨论解析法求解其平衡问题时坐标系的选取问题。

一、平面结构平衡问题引起的思考

圖1所示平面结构中各杆自重不计，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l，在点E、G处分别作用水平

袁镒吾[8]提出了应用虚位移原理时解除理想约束的新方法，因此，为求解B的水平约束力首先解除B水平方向的约束代以约束力，把结构变为机构，把此力看作主动力，然后选取坐标系，大部分初学者选择固定点A作为坐标原点建立坐标系，如图2所示，以θ为参数写出机构中各主动力作用点坐标，

也有初学者选择C点为坐标原点，如图所示3，机构中各主动力作用点坐标将变成

二、问题分析

坐标系原点选在点C，把点C看作是固定不动的，根据运动的相对性，整个结构相对于坐标系会产生一个虚位移，因此该结构中的点A和B相对于原点C也会产生相应的虚位移，那么A和B处的约束就不再是理想约束，所以用解析法求铰B处水平方向的约束力时，解除A和B处其余的约束，以相应的约束力代替，并将这些约束力看作主动力，如图4所示。但是未知力变成了4个，该例自由度为1，利用虚位移原理时仅有1个方程，若想求解图4所示机构，可结合相应的平衡方程求出

三、结论

文章举例讨论了应用解析法求解其平衡问题时坐标系的选取问题，得出以下主要结论：

1.应用虚位移原理时，其坐标原点的选取较灵活，固定点和动点均可作为坐标原点，但是，选取动点作为坐标原点时，结构中的某些约束有可能不再是理想约束，这个是需要初学者特别注意的。

2.在用虚位移原理解题时，当未知量个数超过自由度时，只要加上相应的平衡方程，就可以用虚位移原理求解。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].第8版.北京：高等教育出版社，2016.

[2]周衍柏.理论力学[M].第3版.北京：高等教育出版社，2009.

[3]韩亚萍，徐晓峰.应用虚功原理时应注意的一个问题[J].大学物理，2000，19（5）：21-22.

[4]吴惟敏.虚功原理中的广义坐标选择[J].大学物理，1991，12（6）：46.

[5]王爱勤，冯振宁.也谈虚位移原理中广义坐标的选择[J].大学物理，2003，22（8）：13-14.

[6]周靖.虚功原理中的广义坐标与坐标系的选择[J].淮阴师范学院学报，2006，5（2）：131-134.

[7]薛艳霞，苏振超.虚位移投影的一种计算方法[J].力学与实践，2015，37（1）：129-132.

[8]袁镒吾.应用虚位移原理时解除某些理想约束的新方法[J].力学与实践，1985，7（3）：45-46.