集合探索性问题例析

赵春祥

探索性问题题意新颖，构思精巧，它要求同学们运用已学过的知识，通过观察、归纳、探索和综合等推理过程才能得出结论，集合探索性问题集中在两大类，下面举例说明.

一、信息迁移问题

信息迁移问题大多是通过定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规则，通过阅读相关信息，捕捉解题灵感.这是一类条件不明确或结论不确定的集合问题，需要对题目中提供的各种信息进行观察、概括、猜想，从中探索、寻觅问题所需要的条件或判定结论是否成立，必要时还需要给出严格的证明.

例1 定义集合A与B的运算：A⊙B={x|x∈A，或x∈B，且x？AnB），已知集合A={l，2，3，4}，B={3，4，5，6，7），则（A⊙B）⊙B为______.

解法一 利用Venn图，知（A⊙B）⊙B为图1中阴影所示部分，即为{1，2，3，4}.

解法二 直接由新运算分步计算，由新定义，得A⊙B ={l，2，5，6，7），

则（A⊙B）⊙B={l，2，5，6，7）⊙{3，4，5，6，7）={1，2，3，4）.

例2 设数集M={x| m≤x≤m+3/4），N={x|n-1/3≤x≤n），且M，N都是集合{x|0≤x≤1）的子集.若把b-a叫做集合{x|a≤x≤b）的“长度”，那么集合M∩N的长度的最小值是_______.

解 根据题目提供的定义：b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，可知集合M的“长度”为定值3/4，集合N的“长度”为定值1/3，集合{x|O≤x≤1}的“长度”为定值1.求M∩N的长度的最小值，相当于两线段公共部分最短时的长度值.

设AB是一长度为1的线段，以是长度为3/4的线段，b是长度为1/3的线段.a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N的长度（如图2）.显然当a，b各自靠近AB两端时，重叠部分最短.其值为3/4+1/3-1=1/12.

二、结论不确定的探索型问题

对于结论不确定的探索型问题，一般是给出条件，没有给出明确结论或结论不唯一的问题，要解题者探索出结论，必要时给出推理过程或者理论证明.

评析 对于结论不确定的探索性问题，一般有肯定型、否定型和讨论型三种.即在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出现.“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在，“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个適合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证.“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由.