骨架突破法

董裕华

【编者的话】不少同学一开始也是雄心勃勃，希望通过自己的努力，在数学上有个大的飞跃，但大部分人过不了多久就放弃了，每到放假或者补课的时候都会抱着从头再来的心态，都是从“集合”开始，一个章节一个章节地过关.即便是学习不好的学生，对于集合这一部分都充满自信，其原因就在于此，这样的学习，与其说是在积聚实力，倒不如说是在积累挫折感.

那么，有没有捷径可走？就从骨架内容开始突破吧.

什么是数学的骨架内容？

所谓骨架内容是指数学的基本概念和重要公式.概念是数学的核心内容，学习一个新符号，概念就是指那个符号的定义、性质、特征等；学习一个图形，概念则是指图形的定义、定理、性质一类的东西.公式可以让我们省略很多解题步骤，很容易直接得出结果，如三角诱导公式、正弦定理、余弦定理等.重要的数学用语或公式要在理解的基础上熟练背诵，并能准确默写.需要注意的是，在作为骨架的概念或者公式里没有必要包含过难的内容，认真学习以后就应该能够记得住.骨架学习，旨在把握知识整体的骨架.

怎么学习骨架内容？

数学的骨架内容，大部分的辅导书都已经列出了.教科书和辅导书在学习上的作用各有千秋，教科书的长处在于它有较为详尽的说明.重点是把既简单义重要的内容整理出来；辅导书的长处则在于它收录了考试中常常出现的题目类型，而且把概念整理得条理清晰、一目了然.在学习的时候，要以教科书为主，并依靠辅导书的帮助来整理一些需要背诵的东西.如果喜欢自己整理，还可以用荧光笔或彩色笔把必须要记住的东西标注好，或把它们抄写在笔记本上去记忆，这样可能会更有成效，

为了提高骨架内容的学习效果，还要辅之以相应的骨架题.骨架题就是那些与重要的概念、公式直接相关的题目，这些题目是考试中的必考题，是检验各个单元的重要概念是否掌握的尺子.大致来说，围绕每个知识点的骨架题有4个左右，有时候也会只有一两个，学习骨架题最好以教科书为蓝本，一般都是在重要概念或公式的说明之后出现的题目，课本的例题和习题大多是骨架题.前面举的好多例子都是在课本骨架题的基础上拓展开来的.

为什么学习骨架题可以迅速提高成绩？

第一，骨架内容和骨架题代表的是所在单元的基本学习目标.要想获得基础分，掌握它们就已经足够了.如果说骨架内容是构筑数学大厦的钢筋，骨架题就是构筑大厦的混凝土，其他数学题目只是建筑需要的砖瓦.砖瓦也不是多多益善，但没有钢筋、混凝土，高楼大厦就无法构筑.

第二，骨架题是学习相关知识点的重要载体，让整个知识血肉相连，促进了骨架内容的理解和消化，就像钢筋、混凝土融合在一起的时候才牢不可破，如果连骨架题都不会，其他题目做得再多也不会有什么帮助.

第三，骨架题在考试中一定会出现.如果把略微应用了骨架题的题目都算在内的话，很多的考试题目实际上都在此列.即使是高考，只要把这些内容切实掌握好，考个100分以上（满分按150分或160分计）也不是一件很难的事.而且对骨架题集中学习，量并不大，时间也可以大幅减少.只要把骨架题实实在在掌握好了，至少能使你保持中游水平.

第四，如果在平時学习时，已经预习过课本的骨架内容和骨架题，你就能更加积极地参与课堂上的互动，理解也会更清楚，自然也就会觉得更为有趣.

骨架题要练习到什么程度？

骨架题要练习到在没有任何外界帮助的情况下，能够自己把它们解答出来的程度.这与背诵公式和概念差不多，特别是对于教科书中的解题步骤，尽可能原封不动地把它们写出来是很重要的.有些同学总是自己随心所欲地杜撰一些解题步骤，这是一个必须改正的不良学习习惯.

以《平面向量》为例，我们编制了如下资料（注：受篇幅限制，本文仅摘录部分）：

1.向量的基本概念

【骨架知识】

①向量的定义：既有大小又有方向的量.向量具有数量和方向两重性.向量可以用有向线段来表示，有向线段是固定不变的，但向量可以平移.向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.

②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.零向量的方向是任意的.

③单位向量：长度为1个单位长度的向量叫作单位向量与非零向量AB共线的单位向量是.

④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量.

⑤平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a，b叫作平行向量，记作：a∥b.规定零向量和任何向量平行.两向量平行包含两向量在同一条直线上的情形，但两直线平行却不包含两直线重合的情形.

相等向量与共线向量的关系：（i）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（ii）相等向量具有传递性，而平行向量不具有传递性.非零向量a，b满足a∥0，b∥0，但不一定有a∥b.

⑥相反向量：长度相等方向相反的向量叫作相反向量.a的相反向量是-a.

【骨架题】

（1）已知A（l，2），B（4，2），则把向量AB按向量a=（-1，3）平移后得到的向量是

________________.

（2）下列六个命题：（i）若|a |=|b |，则a=b.（ii）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（iii）若AB=DC，则ABCD是平行四边形.（iv）若ABCD是平行四边形，则.（v）若a∥b，b∥c，则a∥c.（vi）A，B，C三点共线 AB，AC共线.其中正确的是____.

2.向量的表示方法

【骨架知识】

①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，起点在前，终点在后.如AB.

②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，6，c.

③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a =xi+ yj=（x，y），称（x，y）为向量a的坐标，a=（x，y）叫作向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

3.平面向量基本定理

【骨架知识】

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1el+λ2e2.

【骨架题】

（3）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图1所示.若c =λa十μb（λ，μ∈R），则λ/μ _____________.

（4）已知D，E分别是△ABC的边BC，AC的中点，且AD=a，BE =b，则BC可用向量a，b表示为

.

（5）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，则λ+μ=__________________.

4.实数与向量的积

【骨架知识】

实数λ与向量a的积仍是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：①|λa|=|λ||a |；②当λ>O时，λa的方向与a的方向相同；当λ

5.平面向量的数量积

【骨架知识】

①两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA=a，OB =b，∠AOB=？（0≤？≤π）称为向量a，b的夹角.当？=0时，a，6同向；当？=π时，a，6反向；当？=π/2时，a，b垂直.

②平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为？，我们把数量| a|.|b|cos？叫作a与b的数量积，记作：a·b，即a.b=|a||b|cos？.规定：零向量与任一向量的数量积是0.

【提醒】 数量积是一个实数，而不再是一个向量.零向量与任一向量的数量积是数0，而数0与任一向量的积是零向量.

③向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为？，则：

（1）a⊥b a·b=O；（ii）当a，b同向时，a.b=|a||b |，特别地，a2=a'a=|a|2，|a |=√a2；当a与b反向时，a·b=-|a||b|；当？为锐角时，a'b>0；但a·b >O时有可能a，b同向.因此，a-b>0是？为锐角的必要非充分条件.同样，当？为钝角时，a·b<0.a·b<0是？为钝角的必要非充分条件；（iii）非零向量a，b夹角？的计算公式

【骨架题】

（6）△ABC中，∣AB∣=3，∣AC∣=4，∣BC∣=5，则AB，BC_____________.

（7）已知a=（1，1/2），b=（o，=1/2），c=a+kb，d=a-b，c与d的夹角为π/4，则k等于____.

（8）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为

，DE·DC的最大值为____.

（9）已知a，B是两个非零向量，且∣a∣=∣b∣=∣a-b|，则a与a+b的夹角为______.

（10）如果向量a=（λ，2λ），b=（3λ，2）的夹角為锐角，则λ的取值范围是

6.向量的运算

【骨架知识】

①几何运算

（i）向量加法：有两个法则.一是“平行四边形法则”，只适用于不共线的向量，强调共起点.二是“三角形法则”，强调首尾相接.设AB =a，BC=b，则向量AC叫作a与6的和，即a+b=AB +BC=AC.

（ii）向量的减法：用“三角形法则”.设AB =a，AC=b，那么a-b=AB-ACCB强调共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点，

②坐标运算

设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则：

（i）向量的加减运算：a±b=（x1±x2，y1±y2）.

（ii）实数与向量的积：λa=λ（x1，yl）=（λx1，λy1）.

（ iii）若A（xl，yl），B（x2，y2），则AB=（X2-X1，Y2-Y1），即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

（iv）平面向量数量积：a.b=x1x2+y1y2.

（V）向量的模：|a∣=√（x2+y2），a2=|a|2=x2+ y2.

（ vi）两点间的距离：若点A（x1，y1），点B（x2，y2），则

|AB|=√（（X2-X1）2+（y2-y1）2）.

【骨架题】

（11）化简：（i）AB+BC+CD=____；（ii） AB -AD - DC=____；（iii） （AB -CD）（AC - BD）_____.

（12）已知向量A，B的夹角为45。，且∣a∣=1，|2a-b |=√10而，则∣b∣= _____

.

（13）若o是△ABC所在平面内一点，且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|·，则△ABC的形状为________.

（14）已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足 |c-a-b| =1，则|c |的取值范围是____.

7.向量的运算律

【骨架知识】

（i）交换律：a+b=b+a，λ（μa）=（λμ）a·a·b=b·a

（ii）结合律：（a+b）+c=a+（b+c），（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）.

（ iii）分配律：（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λ6，（a+b）c=a·c+b·c.

【骨架题】

（15）下列十个命题：①a·（b-c）=a.b-a=c；②a·（b·c）=（a·b）·c；③若a·b=O，则a=0或b=0；④|a-b|2=|a|2-2|a|.|b|+|b|2；⑤若a·b=c·.b，则a=c；⑥|a|2=a2；⑦a·b/a2=b/a ；⑧（a·b）2=a2. b2；⑨（a-b）2=a2-2a·b+ b2；⑩若|a+b|=|a-b|，则a·b=0.

其中正确命题的序号是____.

8.向量平行（共线）或垂直的充要条件

【骨架知识】

①设a=（x1，y1），b=（x2，y2），且b为非零向量，则a∥b 存在实数A，使a=λb （a·b）2=（|a||b|）2 x1y2-y1x2=0.注意：x1/x2=y1/y2与x1y2-y1x2=0不等价，a∥b时x2或Y2可以为零，

②设a = （x1，y1），b=（x2，y2），且a，b均为非零向量，则a|b a·b=0|a+b|= |a-b| x1x2+y1y2=0.

特别地，若AB≠0，AC≠0，则（AB/|AB|+AC/|AC|）⊥（AB/|AB|-AC/|AC|）

【骨架题】

（16）若向量a=（X1，1），b=（4，X），当X=____时，a与b共线且方向相同；当x=____时，a⊥b.

（17）已知a=（1，1），b=（4，x），u=a+2b，v=2a+b，且a∥v，则x=____.

（18）设PA=（K，12），PB=（4，5），PC=（10，K），则k=_____时，A，B，C共线.

9.向量的一些常用结论

【骨架知识】

①首尾順次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.封闭图形顺次首尾连接而成的向量和为零向量.

②|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（可利用三角形解释）.特别地，|a+b |=|a|+|b|≥|a|-|b|=|a-b| a，b同向或至少有一个为0.|a-b|=|a|+|b|≥||a|-|b||=|a+b |a，b反向或至少有一个为0.a，b不共线 ||a||b||< |a±b|<|a|+|b|（和实数类似）.

③设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则线段P1P2的中点坐标为（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2P为P1P2的中点 MP=（MP1+MP2）/2（M为任意一点）

在△ABC中，若A（X1，y1），B（X2，y2），C（X3，y3）， 则其重心的坐标为G（（X1+X2+X3）/3，（y1+y2+y3）/3）.

④向量PA，PB，PC的三个终点A，B，C共线 存在实数α，β使得PA=αPB+βPC，且α+β=1.

⑤三角形“心”的特征

（i） AD是△ABC中BC边的中线 AD=1/2（AB+AC）；G为△ABC的重心（三角形三条中线的交点） PG=1/3（PA+PB+PC）.特别地，PA+PB+PC=0 P为△ABC的重心.

（ii）HA·HB=HB·HC=HC·HA H为△ABC的垂心（三角形三条高的交点）. （III）向量λ（AB/|AB|+AC/|AC|）（λ≠0）所在直线是∠BAC的角平分线所在直线，经过△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点）.

（iv） OA2=OB2=OC2 O是△ABC的外心（三角形外接网的圆心，三角形三边垂直平分线的交点）

【骨架题】

（19）若点0是△ABC的外心，且OA+OB+OC=0，则△ABC的内角C为____________________.

（20）平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足OC=λOA+λOB，其中λ1，λ2∈R且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是____.

数学并不是一门一学习就立竿见影的学科.实实在在地突破重要知识点的骨架内容，比起漫无目的地做大量的题目、一个单元一个单元往下赶进度来说，效果会更为明显.

不要指望一下子把那么多的东西都学好，只需把重要的题目集中起来实实在在地掌握好即可！

——节选自《减负增效学数学》