三角恒等变换学习漫谈

端木彦

从整体上看，三角变换是对周期现象进行数学研究的重要组成部分，是利用三角函数解决问题的工具.掌握了三角变换，就能有效地发挥三角函数这一数学模型解决实际问题的应用价值.

一、从知识体系构建来看

本章我们将掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式等，在三角恒等公式的推导过程中，我们能够体验数学的发现与创造过程，能够体会向量与三角函数之间的密切联系，还能够发展运算和推理能力.

例如，推导余弦差角公式的方法有很多.如何选择一个简捷有效的思路呢？这里有两个关键点，一是，能否用α与β的三角函数来表示α-β的三角函数？二是，如何形象地表达α-β的三角函数？三角函数的学习帮助我们想到利用单位圆来表示α与β的三角函数值，向量的知识又帮助我们将角α-β联想成两个向量的夹角.两者相结合，不难想到，用向量的数量积来作研究工具，

根据三角函数的周期性，我们只需考虑0≤α-β≤π的情况.

从数学知识体系的内部来看，三角函数不仅是一种重要的数学模型，还是一类基本初等函数，它与其他数学知识具有丰富的联系.三角变换作为三角函数的运算，也是进一步学习新的数学知识的基础.比如后续学习解三角形、解析几何、立体几何等章节时，我们将会深刻体会到三角函数非凡的应用价值.

二、从数学思想运用来看

在上面对本章公式的获得过程中，化归转化思想被多次运用.其中，既有从已知到未知的化归，也有从一般到特殊的化归.化归转化思想可谓三角恒等变换的主导思想，在它的引导下，我们实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题转化，抽象问题向具体问题转化等.

1.通过角的化归消除差异，实现解题目标

例1 已知cos（α+β）=3/15，cosβ=4/5，α，β均为锐角，求sinα的值.

这是三角恒等变换章节中最常见的题型之一.有的同学会直接运用公式C _（α+β），展开已知条件，化简得到一个关于sinα，COS α的一次方程，再根据同角三角函数的平方关系建立方程组求解.这个想法很简单，但在具体操作过程中却会被繁琐的方程组运算所困扰.

其实，分析题目不难发现，该题的本质是已知两个角的三角函数值，求第三个角的三角函数值.如果把所求角α看成是已知角α+β与β的差，即α=（α+β）-β，再用两角差的正弦公式求解，既是对S_（α-β）公式的直接运用，又避免了复杂的运算.

“拆角”，是三角变换中的常用技巧，它体现了化归转化思想.具体在例1中就是用已知角α+β，卢表示所求角α的思想.

2.通过局部向整体转化，寻求解题途径

例2 已知在△ABC中，tan A，tan B是方程3x2- 7x+2 =0的两根，求tan C的值.

这道题的解答，当然可以直接求解出tan A，tan B的值，再代人T_（α+β）公式.但是公式结构上的特点引导我们，tan（A +B）可以由tan A，tan B的和与积来整体表示.这样的话，即使方程的求解较为复杂，我们也可以借助韦达定理快速求解.

本题中充分运用了一般与特殊的转化，将一般函数通过三角公式转化为特殊函数y =Asin（ωx+ψ）進行解决，这也是一般三角函数模型常见的一种转化思路.

三、从数学方法应用来看

在应用数学来解决问题时，总要经历这样几个环节：

高中数学对周期现象的研究也是按照上述程序进行的.为了突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质，三角变换的学习也是放在对周期现象进行研究的大背景下进行的.加上与向量知识的呼应，就构成了一个相对完整的数学发现和应用的过程，从而为同学们从总体上理解周期现象的数学模型起到了关键作用.

作为由三角函数定义推出的逻辑结论，三角变换公式之间也存在着密切的逻辑联系.三角恒等变换公式的推导既可以看成是一种三角函数运算，也可以看成是一种演绎的论证方式.所以三角恒等变换的学习，会使同学们更好地感受公理化方法和推理论证在数学研究中的作用，体会数学运算的意义，领会运算推理在探索、发现数学结论以及建立数学体系中的作用，进而使自己的运算能力和推理能力得到发展.