深挖导数考题，拓展优化解法——对一道高考导数压轴题的解法探究

☉广东省深圳市第二实验学校 陶继智

一、考题呈现，考点分析

1.考题呈现

题目 （2018年高考全国卷Ⅲ理科数学第21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）-2x.

（1）若a=0，试证明：当-10时，f（x）>0.

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a的值.

2.考点分析

本题为高考常见的导数压轴题，综合历年考题来看，试题设计相对较为简洁，第（1）问证明a=0时，f（x）在定义域内的大小，实际上考查利用函数的单调性来证明函数不等式，其中涉及了函数求导、不等式变形等；第（2）问，求x=0是f（x）的极大值点时a的值，考查学生对于极值点的理解、对于含参函数的性质分析以及函数零点的确定等内容，其中涉及众多的解题思想，对学生的思维能力要求较高.

二、思路突破，深剖优化

（一）关于第（1）问的证明

1.常规求解

第（1）问给定了参数a的数值，可以理解为比较函数f（x）在定义域内与0的大小关系，最为常规的方法是构建f（x）在某自变量下的值为0，即f（x1）=0，从而结合函数以及导函数的单调性来完成证明，将大小比较转化为函数性质分析，具体证明过程如下：

证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（x+1）-2x，其一次导函数为，当-10时，f″（x）>0，则f′（x）单调递增.所以f′（x）在x=0处取得最小值.因为f′（0）=0，所以f′（x）在区间（-1，+∞）上有f′（x）>0，即f（x）在区间（-1，+∞）内单调递增.又因为f（0）=0，所以当-10时，f（x）>f（0）>0.

2.初步优化

上述求解过程进行了两次求导，首先利用二次导函数来确定一次导函数的单调性，然后利用一次导函数来研究原函数的单调性，整个过程环环相扣，衔接紧密，但正是因为二次导函数的存在使得整个单调性的研究显得较为杂乱，很容易对应错误，造成错解.其实在分析一次导函数的单调性时可以适时地采用构造思想来构建一个新函数，对其单调性加以区分，具体优化过程如下：

证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（x+1）-2x，一次导函x+1在区间（-1，+∞）上始终大于0，只需研究分子的单调性即可.令g（x）=（1+x）ln（x+1）-x，则g′（x）=ln（1+x），当-10时，g′（x）>0，则g（x）单调递增.又因为g（0）=0，所以g（x）在区间内始终大于等于0，进而可知f′（x）≥0，则f（x）在定义域内单调递增，且f（0）=0，所以当-10时，f（x）>0.

3.深度优化

虽然上述解法采用构造新函数的方式对求导过程进行了一定的优化，但依然属于常规的整体求导分析.实际上，定义域为（-1，+∞），因而函数中具有一隐含特点：x+2>0，因此当a=0时，可将函数整理为f（x）=符号即可，同样可以采用构造新函数的方式，这样仅通过一次求导就可以确定函数的零点，进而证明问题，具体证明过程如下：

又g（0）=0，则当-10时，g（x）>0.

所以当-10时，f（x）>0.

（二）关于第（2）问的求值

1.常规求解

求x=0时f（x）的极大值点时参数a的值，首先需要理解何为极值点，并区分导数为0的点与极值点的关系，即是否导函数等于0就一定存在极值点，因此解题的思路是讨论f（x）在x=0附近的单调性，并判断f（x）与f（0）的大小关系，由于参数a没有范围限制，所以需要采用分类讨论的方式对其加以分析，需要注意的是要充分结合第（1）问的性质分析.

解：①若a≥0，当x>0时，f（x）≥（2+x）ln（x+1）-2x>0，此时的x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意.

②若a<0，讨论f（x）在x=0附近的单调性，

由于（x+1）3在定义域内始终大于0，因此f′（x）的符号由分子决定.令g（x）=2ax2+（6a+1）x+6a+1，则g（x）的图像的对称轴为任意的a<0，g（x）在定义域（-1，+∞）上均单调递减.

2.解法优化

上述第（2）问求解时为确定f（x）在x=0附近的单调性，对函数进行了三次求导，虽然思维难度一般，但分析过程较为烦琐.实际上，对于第二步a<0的讨论，可以等价转化为讨论函数下面进行详解：

全国卷Ⅲ的这道导数压轴题相对而言属于常规的考题，由于参数a的存在使得问题的分析过程需要进行分类讨论，使用常规的分析思路也可以完成，而该考题的优点在于其解法的拓展性及思维的层次性，有利于考生根据自己的思维能力来调整解法，充分挖掘问题的隐含信息，对函数进行等价转化，实现问题的巧妙求解.其中的等价转化思想是问题优化求解的重要思想方法，是思维变通解题的践行.

三、解后反思，教学思考

1.强化基础知识，严谨求解论证

导数是研究函数性质的重要工具，高考对于导数的考查也逐步趋向于综合性，上述考题虽然问题设置较为简单，但由于所研究函数具有复合性，求解过程除了需要多次求导，还需讨论参数的取值，其中必然涉及众多的知识内容.充分理解极值点、零点、拐点等基本定义，掌握函数求导、单调性研究的基本方法是求解函数综合题的基础，尤其是复杂函数的求导方法，直接影响到函数性质的分析过程，需要在理解的基础上对其加以归纳.另外，需要注意的是要准确理解函数的极值点，不能简单地根据导数为零来妄下结论，任何 脱离函数单调性来讨论极值点的行为都是空谈.数学是一门严谨的学科，不仅体现在研究过程上，还体现在对基础知识的充分理解上.

2.深度探讨问题，优化解题方法

高考导数压轴题除了考查学生的基础知识，同时也注重考查学生的思维，通过研究导函数的单调性来研究原函数的性质是问题求解的总体思路，但不同的思维层面所获得的求解思路是不尽相同的，虽然都可以获得最终的答案，但基于对概念的原始理解进行的求解相对而言更为繁复，容易陷入思维困境，如上述考题的常规解法不仅需要对函数进行多次求导，在单调性研究时也更为复杂.高考题的优点在于解法的多样性，适时地优化解法，采用构造函数、等价转化等策略往往可以有效降低思维难度，使得求解过程简练清晰，同时解法优化的过程，也是对考题的深层思考，对于认识问题本质，升华解题策略有着极为重要的作用.

3.渗透思想方法，提升解题思维

导数压轴题的另一个重要考查意义是对学生数学思想的提升，如上述对含参函数性质的分析过程涉及了分类讨论、等价转化等思想，正是在数学思想的指导下使得问题的分析思路更为明确，求解过程更为简洁，解题过程表面上是知识的综合过程，实际上也同样是思想方法灵活运用的过程.因此在教学过程中，教师有必要结合考题渗透思想方法，必要时采用数形结合的方式，多角度、多层面展开问题分析，使学生充分体会数学思想的指导意义，逐步形成自我的解题思路，获得数学思想的提升.

四、写在最后

导数压轴题在高考中的考查力度越来越大，不仅注重对知识内容、解题思维的考查，也逐步向思想方法层面渗透.依托思想方法，实施解法优化策略应成为导数题的重要学习内容；从不同角度分析问题，挖掘问题隐含信息，充分利用导数的工具性应成为解法探究的重要环节；深入探究考题，灵活运用技巧，激发思维的创造性是提高解题效率的重要途径，从知识内容、解题技巧、思想方法多层面学习才能真正提升数学的解题能力.