指向核心素养的解题策略研究——圆锥曲线中斜率类问题的统一解法

☉安徽省滁州中学 傅毓涛

☉安徽省滁州中学 郭守静

高考数学“考什么”，这在“大纲”中有清晰的界定，主要体现在三个方面：考知识、考素养、考潜能.新课标中对数学课程的性质是这样定义的：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.同时新课标提出了六大核心素养，而圆锥曲线是落实逻辑推理和数学运算的良好载体，圆锥曲线问题也一直是高考中重点考查的核心内容，对于多数学生来说解题思路不难想到，但是往往中途搁浅.究其原因一方面是没能很好地运用平面几何的相关知识去进行等价转化，另一方面是运算量较大而导致出错.因此本文通过几道高考试题的深度思考，探索关于斜率这一热点问题的统一解法.

一、试题再现

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

（1）求C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，若直线P2A，P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

类似的试题还有：2015年新课标全国卷Ⅰ（理科）的第20题，2015年北京卷（理科）第19题等.显然这些试题的共同点都是以斜率的和为定值或斜率的积为定值为条件来设计的，尽管2018年的第19题中的点M和2017年的第20题中的点P2都是坐标轴上的点，可是运算量仍然偏大，考试的结果是很多同学没能拿到满分.以2017年全国卷Ⅰ的第20题为例，如果把条件改为P3A，P3B的斜率和为-，证明：l过定点.结果又会是怎样的呢？运算量显然比原题加大了许多.

二、规律探究

通过前面的分析，我们知道在探究直线PA，PB的斜率类问题时，P点在坐标轴上显然比在普通位置上的运算量要小得多，所以设想当P点若在坐标原点则应该更容易些，所以接下来就是一个化归的问题.平移是数学中常用的一种变换，而这种变换显然是不改变直线的斜率的，所以我们可以把问题通过平移化归为过原点的问题来解决，事实上我们有下面的定理.

证明：考虑到平移不改变直线的斜率，故我们作一平移：n=（-x0，-y0），设平移前椭圆上任意一点T（x，y），平移后的对应点的坐标为T′（x′，y′）.

由向量关系n=TT—→′，得

b2x′2+a2y′2+2b2x0x′+2a2y0y′=0. ①

同理直线y=kx+m平移后的方程为

kx′-y′=t（其中t=y0-kx0-m）.

把上述方程代入方程①得

由韦达定理可得

三、一览众山小

下面我们利用定理所提供的方法来解决几道问题.

例1（2017年全国卷Ⅰ理科第20题）此略.

（2）当直线l斜率不存在时，易得直线x=2，直线过右顶点，不存在两个交点.

x′2+4y′2+8y′=0. ①

设平移后的直线为y′-kx′=m代入①，得（x′2+4y′2）m+

当4m+8=0⇒m=-2此时直线过椭圆的下顶点，其中有一条直线没有斜率，舍去，所以4m+8≠0，

把②代入③，得y+1=k（x-2），所以直线过定点（2，-1）.很明显这种解法比常规的解法运算量少.

（1）求椭圆C的方程；

图1

注意到平移没有改变直线的斜率，故我们可以作一平移n=（-2，-1）,则有

又因为∠APB=90°，故△PMN为等腰直角三角形，

所以|MN|=2xP=4.

变式：若本题改为证明直线AB过定点，则采用定理提供的方法，同样可以很容易得到：

四、类比与拓展

圆锥曲线有一定的共性，我们利用类比的思想不难想到上述方法对于双曲线和抛物线的斜率问题也应该是成立的，下面我们以抛物线为例作一探究.

例3（2015年新课标卷Ⅰ第20题改编）如图2，在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点.直线x=2分别交曲线C和直线l于P，T两点，当a变化时，总有∠TPM=∠TPN，证明：k为定值.

图2

分析：∠TPM=∠TPN⇔kPM+kPN=0，容易得到P（2，1），故作一平移n=（-2，-1），则有

x′2+4x′-4y′=0. ①

设平移后的直线l′：y′-kx′=m代入方程①得x′2·m+（4x′-4y′）（y′-kx′）=0，

又因为平移不改变直线的斜率，故原直线的斜率为-1.

四、反思

通过定理的探究过程，我们发现关键是运用联想、类比等手段把一个陌生的问题转化为我们已经解决了的问题，即以旧推新，而这正是数学家的思维方式，也是老师培养学生逻辑推理这一核心素养的必由之路.我们在日常的教学中应当多对学生进行这方面的引导，这才是真正的授之以渔.