非奇异M矩阵研究

张爱萍

(吕梁学院 汾阳师范分校数学与科学系,山西 汾阳 032200)

M矩阵是重要的特殊矩阵之一，它是瑞士数学家Ostrowski在1937年首次提出的术语[1]，随后科学家和经济学家进一步发展了M矩阵的理论及应用[2].现在M矩阵在计算数学、经济学、生物科学、人工智能等很多领域都具有重要的应用[3].本文将重点研究非奇异M矩阵的一些重要特性.

1 M矩阵与非奇异M矩阵

定义1[4]设A∈Rn×n，并且可以表示为

A=sI-B,s>0,B≥0

(1)

若s≥ρ(B),则称A为M矩阵；s>ρ(B),则称A为非奇异M矩阵.

记

Zn×n={A=(aij)∈Rn×n|aij≤0(i,j=1,2,…,n,i≠j)}

(2)

2 有关非奇异M矩阵的主要结论

定理1[6]设A=(aij)∈Zn×n,为非奇异M矩阵，并且D∈Zn×n满足D≥A,则

①A-1与D-1存在，A-1≥D-1≥0;

②D的每一个实特征值为正数；

③det(D)≥det(A)>0.

证①由于A为非奇异M矩阵，因此有

A=sI-B,s>0,B≥0

(3)

对于任意实数ω≤0,考虑矩阵

C=A-ωI=(s-ω)I-B

(4)

由于s-ω>ρ(B),故C也为非奇异M矩阵.这说明非奇异M矩阵的每一个实特征值必为正数.由于D∈Zn×n，所以存在足够小的正数s，使得

P=I-εD≥0

(5)

由于D≥A，则得

Q=I-εA≥I-εD=P≥0

(6)

又由于ρ(Q)为Q的非负特征值，所以

det[(1-ρ(Q))I-εA]=det(Q-ρ(Q)I)=0

(7)

(I-Q)-1=(εA)-1=I+Q+Q2+…≥0

(8)

故有A-1≥0.由Q≥P≥0,可得

0≤Pk≤Qk,k=1,2,…

(9)

且有ρ(P)≤ρ(Q)<1,因此可得

(I-P)-1=(εD)-1=I+P+P2+…≤(εA)-1

(10)

从而得到A-1≥D-1≥0，即①得证.

②任取α≤0,则D-αI≥A,由①可得D-αI非奇异，因而D的所有实特征值为正数.从而②得证.

③通过以上分析，只需证明：如果A∈Zn×n的所有实特征值为正数，并且D∈Zn×n满足D≥A,则③成立.

实际上，对矩阵的阶数n应用归纳法.当n=1时，显然③是成立的.假设对k(1≤k

(11)

(A-1)m≥(D-1)m≥0

(12)

其中，(A-1)m表示A-1的(m,m)元素，即

(13)

因此，det(A)>0,det(D)>0,进一步利用归纳假设可得

det(D)≥det(A)det(D1)/det(A1)≥det(A)>0

(14)

定理2 设A=(aij)∈Zn×n,则下列8个命题是等价的

①A为非奇异M矩阵；

②如果B∈Zn×n,并且B≥A,则B非奇异；

③A的任意主子矩阵的每一个实特征值为正数；

④A的所有主子式为正数；

⑤对于每个k(1≤k≤n)，A的所有k阶主子式之和为正数；

⑥A的每一个实特征值为正数；

⑦存在A的一种分裂A=P-Q,使得P-1≥0,Q≥0,并且ρ(P-1Q)<1;

⑧A非奇异并且A-1≥0.

证由定理1很容易得到①⟹②.

②⟹③设Ak是A的任一k阶主子矩阵，K表示Ak在A中的行(列)序数集，λ是Ak的任一特征值.接下来使用反证法证明λ>0.

假设λ≤0.定义矩阵B=(bij)∈Zn×n,如下：

(15)

③⟹④因为实方阵的复特征值成共轭对出现，所以实方阵所有的非实特征值的乘积为正数.由③可知，A的所有主子式为正数.

④⟹⑤显然成立.

⑤⟹⑥由于

det(A-λI)=(-λ)n+b1(-λ)n-1+…+bn

(16)

其中，bk是A的所有k阶主子式之和.由⑤可知bk>0(k=1,2,…,n)，故式(16)不可能有非正的实根，即A的每一个实特征值为正数.

⑥⟹①设A=sI-B,s>0并且B≥0，则s-ρ(B)为A的实特征值，⑥可知它为正数，即s>ρ(B).故A为非奇异M矩阵.

①⟹⑦取P=sI,Q=B,并且s,B满足

A=sI-B,s>ρ(B),B≥0

(17)

⑦⟹⑧由⑦可得A=P(I-C),其中C=P-1Q. 由于ρ(C)<1，有

A-1=(I-C)-1P-1=(I+C+C2+…)P-1

(18)

于是由C=P-1Q≥0,可得A-1≥0.

⑧⟹①记A-1=G=(gij),则由⑧可知G≥0.又由AG=I可得

(19)

因为aij≤0,gij≥0(i≠j)，则有

(20)

由式(20)再结合gii≥0得

aii>0,gii>0,i=1,2,…,n

(21)

Ax=(s-ρ(B))x

(22)

因为A是可逆的，所以s≠ρ(B).于是

(23)

由于A-1≥0,x≥0并且x≠0,所以s>ρ(B).因此A为非奇异M矩阵.

3 有关一般M矩阵的主要结论

实际上，一般M矩阵与非奇异M矩阵在应用中几乎同等重要，下面再讨论一般M矩阵的一些特性.

定理3 设A=(aij)∈Zn×n,则下面几个命题彼此等价：

①A是M矩阵；

②对于每个ε>0,A+εI是非奇异M矩阵；

③A的任意主子矩阵的每一个实特征值非负；

④A的所有主子式非负；

⑤对于每个k(1≤k≤n),A的所有k阶主子式之和为非负实数；

⑥A的每个实特征值均非负.

证①⟹②由M矩阵的定义易证.

②⟹③设Ak为A的任一k阶主子矩阵，λ为Ak的任一实特征值.如果λ为负实数，由②可知B=A-λI也为非奇异M矩阵.再假设Bk是B的k阶主子矩阵，其行、列序号与Ak在A中的行、列序号相同.由定理2的④可得det(Bk)>0.因为λ为Ak的特征值，所以det(Bk)=det(Ak-λI)=0,但这与前述相矛盾.即③成立.

③⟹④由于A的主子式等于相应主子矩阵的所有特征值的乘积，而非实特征值之积为正数，实特征值之积为非负的，因此④成立.

④⟹⑤很明显成立.

⑤⟹⑥与定理2证明中⑤⟹⑥的证法相类似.因为

det(A-λI)=(-λ)n+b1(-λ)n-1+…+bn

(24)

其中，bk为A的所有k阶主子式之和.由⑤可知bk≥0(k=1,2,…,n),那么式(24)不可能有负实根，即A的每个实特征值均是非负的.

⑥⟹①用与定理2中证明⑥⟹①相类似的方法即可证得.