关于一类具有负系数的广义单叶函数性质

何 涛，周海燕，李书海

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

1 引言

设函数 f（z） 和g（z） 在D ＝ {z:z＜1}内解析，如果存在解析函数w（z）满足w（0）＝0，w（z） ＜1，使得f（z） ＝ g（w（z）） ，则称 f（z） 从属于 g（z） ，记为 f（z） ≺ g （z）[1].

用S（a，k）表示在单位圆盘D内具有如下形式的解析单叶函数全体函数组成的类.令Ta，k（）表示Sa，k（）中的具有负系数单叶函数的子类:

显然T（1，2）＝T[2].Vinod Kumar在文献[2]中引进并研究了T的特殊子类:

定义A 设A，B∈R， －1≤B ＜A≤1.函数f（z） ∈T属于函数类P（A，B） 当且仅当

文献[2]中讨论函数类P（A，B）的几何特征，先证明函数类充分条件，得到类中函数的系数不等式、偏差、覆盖、闭包定理和极值点等性质.国内外学者在文献[3-17]中分别研究了T的不同子类几何函数性质，得到重要结果.

以下，在Sa，k（）上引进广义解析函数类，首先给出积分表达式、充分条件，由此得到类中函数的系数不等式、偏差、覆盖、闭包定理和极值点等性质，所得结果推广了文献[2]中的主要结果.最后还进一步讨论函数类的Hadamard卷积的封闭性质和包含关系，得到新结果.

2 定义及有关引理

首先引进函数类:

定义1 设A，B∈R，a ＞0， A≤1， B ≤1，A≠B，0≤λ ≤1.函数f（z） ∈S（a，k）属于函数类Pk（a，λ，A，B）当且仅当

令

TPk（a，λ，A，B）＝Ta，k（）∩Pk（a，λ，A，B）.

显然，定义中分别取 a ＝ 1， －1≤B ＜ A≤1，λ ＝ 1 时，P2（1，1，A，B） 和TP2（1，1，A，B） 为文献[2]中研究的函数类.

引理1 函数fz（）∈Pk（a，λ，A，B）当且仅当

证明:根据从属关系的定义，f（z）∈Pk（a，λ，A，B） 当且仅当在D中存在解析函数w（z）满足w（0）＝0，w（z） ＜1，使得（4）式等价于（3）式.证毕.

3 主要结果及其证明

下文中，如无特殊说明，参数k，A，B，a均满足条件:

k，A，B ∈ R，k≥2，a ＞ 0， A≤1， B≤1，A ≠ B，0 ≤λ ≤1.

定理1 函数 f∈ Pk（a，λ，A，B） （0 ＜ λ ＜ 1） 当且仅当

其中解析函数w（z）满足w（0）＝0，w（z）＜1，C为任意常数.

证明:设f∈Pk（a，λ，A，B） （0＜ λ ＜1） ，根据从属关系定义可知，存在解析函数类w（0）＝0，w（z）＜1使得:

由一阶非齐次微分方程的求解公式可得

上述证明是可逆的.故函数f∈Pk（a，λ，A，B）当且仅当（5）式成立.

其次，给出系数不等式:

定理2 设函数 f（z） ∈ S（a，k） ，若满足条件

则f（z）∈Pk（a，λ，A，B）.

证明:设不等式（6）成立.令 z ＝ 1 ，由 f（z） ∈ Tk（a） 和利用（6）得到

因此，利用最大模原理，可得

由引理1可知fz（）∈S∗k（a，A，B） .

定理3 设函数 f（z） ∈ T（a，k） ，则

①当－1≤B＜A≤1，B≤0时fz（）∈TPk（a，λ，A，B）的充要条件为

②当－1≤A＜B≤1，B≥0时fz（）∈TPk（a，λ，A，B）的充要条件为

证明:因 TPk（a，λ，A，B） ⊂ Pk（a，λ，A，B） ，所以由定理2 可知，定理3 的充分性显然成立 . 只需证明必要性即可.先证明①的必要性.

设fz（）∈TPk（a，λ，A，B），由引理1得到

由于对于任意复数z，满足的 Rez≤z，所以

使用z→1－时，从（9）可得到 （7）式.

用相同的方法容易（8）成立.如果取函数

则（7）和（8）式均能达到准确值.证毕.

下面利用系数不等式讨论函数类TPk（a，λ，A，B）的基本性质.

定理4 若 f∈ TPk（a，λ，A，B） ， z＝ r，则①当 － 1≤B ＜ A≤1，B ≤0时，有

证明:①设 f∈ TPk（a，A，B） ，由定理 3 中①可知

因此

从而①成立.用相同的方法证明②.证毕.

定理5 设函数f（z）∈TPk（a，λ，A，B ），则函数

也属于函数类 TPk（a，λ，A，B ）.

证明:由（10）式，得到

因f（z）∈TPk（a，λ，A，B ），分两种证明.当 －1≤B ＜A≤1，B≤0时利用定理3中①可知

由定理3推出，F（z）∈TPk（a，λ，A，B ）.同理，当 －1≤A＜B≤1，B≥0时，利用定理3中②容易证明F（z）∈TPk（a，λ，A，B）.证毕.

定理6 设c是实数且c＞ －1，k≥2，又设F（z）∈TPk（a，λ，A，B ），则（10）式定义的函数f（z），在z＜R∗是单叶的，其中

证明:设

由（10）式，得到

要得到结果，只要在 z ≤R∗时，需满足条件f′（z）－a＜a或

如果

则有 f'（z） － a ＜ a，而有定理3，得

因此，如果

或者

（10）式将满足，f（z）在z＜R∗为单叶函数.

如果取函数

就能达到准确值.证毕.

定理7 设k∈R，k≥2，a ＞0，如果函数

属于类 TPk（a，λ，A，B） ，则当，函数 h（z） ＝也属于 TPk（a，λ，A，B） 类.

证明:由于f（ z）∈TPk（a，λ，A，B） ，由定理3可得到

因此

由定理3 推出 h（z） ∈ TPk（a，λ，A，B） . 证毕.

定理8 设

则函数 f∈ TPk（a，λ，A，B） 的充要条件为

证明:（充分性）:设

因此

因此由定理3 可知 f∈ TPk（a，λ，A，B） .

（必要性）:设 f∈ TPk（a，A，B） ，由定理3 推出

设

因此

证毕.

注:定理3-定理8中分别取a＝1，－1≤B ＜A≤1，λ ＝1，时.就得到文献[2]中的全部结果.

最后，讨论类中函数的Hadamard卷积的封闭性和包含关系.

设 fi（z） ＝∈ T（a，k） （i ＝ 1，2） 则函数 f1（z） 和 f2（z） 的 Hadamard 卷积定义为:

定理9 设

若 A－B ≤（1－ λ ＋kλ） （1 ＋ B ），则 （ f1∗ f2）（z） ∈ TPk（a，A，B） .

证明:因为fi（z）∈TPk（a，λ，A，B）（i＝1，2） ，由定理3可得到

要证明 （ f1∗ f2）（z） ∈ TPk（a，λ，A，B） ， 只需证明

利用Cauchy-Schwarz不等式，从（12）得到

即（13）式成立.证毕.

定理10 设0 ≤λ1≤λ2≤1 ，则

证明:设fz（）∈TPk（a，λ2，A，B），分两种证明.

当 －1≤B ＜A≤1，B≤0时，利用定理3中①可得

由于λ1≤λ2，且1－λ＋nλ为关于λ的增函数，则有

即fz（）∈TPk（a，λ1，A，B），（15）式可证.同理，当－1≤A＜B≤1，B≥0时，利用定理3中②容易证明TPk（a，λ1，A，B） ⊆ TPk（a，λ2，A，B） . 证毕 .

4 小结

首先，利用从属关系和微分方程方法讨论了该类TPk（a，A，B）中函数的积分表达式和系数不等式，其次，研究其几何特征和极值问题，得到较广义的结果推广相关结论.该类函数中还有优化问题、对数系数以及映射区域面积等有很多待进一步研究的有趣问题，需要我们深入探究.