一道高考双曲线与抛物线试题的探索

辽宁省抚顺市四方高级中学(113122) 孟庆杰

题目1(2015山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p＞0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为___.

图1

解如图1,由题意,抛物线焦点,渐近线OA方程为bx-ay=0,联立C2方程,得A点坐标.由渐近线的对称性,得△OAB为等腰三角形且所以当AF⊥OB时,△OAB的垂心为C2的焦点即kAF·kOB=-1.所以,解得为所求C1的离心率.

一、纵向探索

1.上述“题目1”中“△OAB的垂心为C2的焦点”改为“△OAB的重心为C2的焦点”,则C1的离心率为____.

解如图1,由上述“题目1”中的解答,得为等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以当焦点为△OAB的重心时,,即8b2=3a2,所以所求C1的离心率.

2.上述“题目1”中“△OAB的垂心为C2的焦点”改为“△OAB的内心为C2的焦点”,则C1的离心率为___.

解如图1,由上述“题目1”中的解答,得,△OAB为等腰三角形,OC垂直AB且平分∠AOB, 所以当焦点为△OAB 的内心时, 点F到OA的距离等于|FC|,即,整理得a3+a2c=4b2c(c为半焦距),解得为所求C1的离心率.

3.上述“题目1”中“△OAB的垂心为C2的焦点”改为“△OAB的外心为C2的焦点”,是否可求C1的离心率.

解如图1,由上述“题目1”中的解答,得△OAB为等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以当焦点为△OAB的外心时,|FA|=,即,整理得无解,所以C的焦点不可能为△OAB的外2心,当然C2的焦点也不可能为△OAB的中心即△OAB不可能为正三角形.

二、横向探索

(一)把“C2:x2=2py(p＞ 0)”改为“C2:y2=2px(p＞0)”

图2

题目2平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C2:y2=2px(p＞0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为____.

解如图2,由题意,抛物线焦点,渐近线OA方程为bx-ay=0,联立C2方程,得A点坐标.由渐近线的对称性,得△OAB为等腰三角形且OF⊥AB,所以当AF⊥OB时,△OAB的垂心为C2的焦点,即kAF·kOB=-1.所以,解得5b2=4a2,即为所求C1的离心率.

1.上述“题目2”中“△OAB的垂心为C2的焦点”改为“△OAB的重心为C2的焦点”,则C1的离心率为____.

解如图2,由上述“题目2”中的解答,得,△OAB为等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以当焦点为△OAB的重心时,,即3b2=8a2,所以所求C1的离心率.

2.上述“题目2”中“△OAB的垂心为C2的焦点”改为“△OAB的内心为C2的焦点”,则C1的离心率为____.

解如图2,由上述“题目2”中的解答,得,△OAB为等腰三角形,OC垂直AB且平分∠AOB,所以当焦点为△OAB的内心时,点F到OA的距离等于|FC|,即,整理__得b3+b2c=4a2c(c为半焦距),解得为所求C1的离心率.

3.上述“题目2”中“△OAB的垂心为C2的焦点”改为“△OAB的外心为C2的焦点”,是否可求C1的离心率.

解如图2,由上述“题目2”中的解答,得,△OAB为等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以当焦点为△OAB的外心时,|FA|=即,整理得无解,所以C的焦点不可能为△OAB的外2心,当然C2的焦点也不可能为△OAB的中心即△OAB不可能为正三角形.

(二)把“C2:x2=2py(p＞ 0)”改为“”

图3

题目3平面直角坐标系xOy中,双曲线0,b1＞0)的渐近线与椭圆C2:交于点A,B,如图3,若△OAB的垂心为C2的焦点F(0,c),已知椭圆的离心率为e,则C1的离心率e1=____.

解如图3,由题意,渐近线OA方程为b1x-a1y=0,联立C2方程,得A点坐标由渐近线的对称性,得△OAB为等腰三角形且OF⊥AB,所以当AF⊥OB时,△OAB的垂心为C2的焦点F(0,c),即kAF·kOB=-1.所以,整理化简,得当b1＞a1时,椭圆离心率e和双曲线离心率e1满足：.若给出e就可求e1,如当时,.

1.上述“题目3”中“△OAB的垂心为C2的焦点F(0,c)”改为“△OAB的重心为C2的焦点F(0,c)”,则C1的离心率为____.

解如图3,由上述“题目3”中的解答,得,△OAB为等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以当焦点F(0,c)为△OAB的重心时,,整理化简,得当时,.若给出e就可求e1,如当时,.

2.上述“题目3”中“△OAB的垂心为C2的焦点F(0,c)”改为“△OAB的内心为C2的焦点F(0,c)”,则C1的离心率为___.

图4