数形结合，有形才行

江苏苏州高新区达善小学校（215151） 罗晓喻

数形结合是一种常见的数学思想，但是，具体教学中，许多教师忽视了它的强大功能，或是一笔带过，或是片面地强调它辅助解题、帮助理解题意的功用。其实，深究起来，数形结合不仅是辅助理解那么简单，它还有揭示数学概念、验证算理、寻求解题突破口等用途。

一、以形推形

2011版课程标准将几何图形的教学内容按照“三维——二维——三维”的回环结构编排，并且在同一阶段中，对图形的认识设计一定的梯度，从“辨认”到“认识”再到“建模”，让学生经历借“形”思“形”的过程。

【案例1】长方体和正方体的认识。

教师拿出土豆，然后让学生按照要求切分土豆。学生切下第一刀后，电脑演示将土豆一剖为二。让学生触摸切面，比较新切面和原表面有何差异。学生发现切面为平面。在这个平面上再切第二刀，电脑演示分切过程。教师提问：“出现了什么变化？”学生答复：“出现一条直直的线”。教师指明这条线就叫“棱线”，揭示“两个平面相交形成棱”。学生再切一刀又出现一条棱，除了多出一条棱，还生成了一个顶点。此时教师引导学生发现三条棱交汇产生一个顶点，即三棱交接处为顶点。接着，再切三刀就得到长方体。教师让学生数出长方体的棱、面、顶点的数量。最后，请学生分享探究成果：长方体一共有8个顶点、6个面、12条棱。

借“形”思“形”，简而言之就是经过动手操作，感受几何直观。学生虽是首次接触立方体，对其中的一些概念名词也是初次接触，但是他们在幼儿时期接触过许多类似的物件，对长方体的结构都有感性经验，只是没有形成明确的学科概念。因此，课始阶段，切土豆的活动就能调取学生已有的面、棱、顶点等感性经验，为学生构想长方体的几何元素提供表象支架。

二、形中说理

著名数学家华罗庚说过：“数以形而直观，形以数而入微。”图形总是以其生动、形象的特点，给人以强烈的视觉信号。通过几何直观，可以将生活中抽象难比拟的事理，简明直接地呈现出来，于是，课堂上用鲜明抢眼的“形”去诠释、证实抽象的“理”是最佳选择。

【案例2】笔算乘法。

教师出示例题：每盒有12支钢笔，4盒钢笔一共多少支？学生列式：12×4=48。

教师让学生简述计算过程，并汇报交流。（点名几位学生上台书写）

教师让学生重点解说最后一种竖式解法：

将图解与算式相结合，可得：

分析图示可知，先是将每个12分成两部分，然后分别扩增4倍，变为4个10和4个2，对应到竖式中，4乘2等于8，是计算4个2这部分；4乘十位上的1（代表10）等于40，是计算4个10这部分，合并计算两部分就是48。

在图解乘法竖式时，将所有运算步骤“10×4=40，2×4=8，40+8=48”全部用图形进行说明，做到数形结合，算理清晰，让学生彻底开悟。

三、画图开路

解应用题时，“数”依靠“形”可将题意直观化，培养学生的形象思维；用图来解析和推断，能化难为易，提高解题效率。

【案例3】题目：甲乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲车行驶了总里程的，乙车行驶了总里程的,此时，两车相距220千米,求A、B两地距离是多少？

解析：单看文字表述，题干中的“220千米”无法确定为全长的几分之几，而依题意画出线段图，其中玄机自然显现：

看图可知：“220千米”是两车相遇之后错开的距离，在两车行驶路线的重叠处：

③仅仅截取中间一段距离看：“220千米”对应全长的份额是，所以全长为220÷；

④对比全长看，“220千米”是两车行驶总里程与全长的差，所以全长为。

从上例可以看出，复杂的数量关系，通过图解可以做出不同角度的判断，在看似无关的数据间，可以捕获到有利和有效的解题线索。

在教学过程中，充分利用几何直观，可以让学生另辟蹊径，把抽象问题变得具体可操作，把静止的数字问题变成灵活的游戏问题，增强题目的趣味性和可塑性。

【案例4】“鸡兔同笼”问题。

题目：鸡兔同笼共有8个头和26条腿，分别求鸡和兔的数量。

教师先要求学生画图解决问题，学生展示做法。用圆圈代表头数用短线表示腿数，在每个头下面配上两条腿，得到8个头、16条腿，比题目中给出的条件少了10条腿，把剩下的10条腿补画到5个头下，每个头补加2条腿，这样一来，就有5个头有四肢，所以兔子数为5个，由此可推断鸡数为3只。

数形结合，其目的就是通过“形”来简化解题程序，降低思维难度，克服思维障碍。通过画图可以给出数字无法表现的解题线索，让学生切实感受到几何直观对解题的重要作用。