基于三维体验平台的圆弧样条插值研究

王 尧，朱 煜，李海波，孙浩月，朱明华

（江南造船（集团）有限责任公司 江南研究院，上海 201913）

0 引 言

随着信息技术的不断发展，三维设计技术凭借直观易懂的优势在航空、航天、船舶、汽车、能源和建筑等多个领域得到广泛而深入的应用[1]。三维设计技术及以该技术为基础的虚拟仿真技术已成为提高产品研制效率和改善产品质量的重要工具[2]。船舶工业因具有系统复杂、模型数据量大和边设计边生产的特点，使得三维设计技术在该领域的应用较为滞后。目前国内已引进Tribon、CADDS5和FORAN等三维设计软件应用于船舶设计领域，取得了一定的成效，但还未完全实现全三维设计[3-6]。

近年来，法国达索公司推出的三维体验平台作为主流的计算机辅助设计（Computer Aided Design，CAD）/计算机辅助制造（Computer Aided Manufacturing，CAM）/计算机辅助工程（Computer Aided Engineering，CAE）一体化解决方案，涵盖船舶建造从方案设计到生产设计的各个阶段，在世界上拥有包括德国Meyer Werft船厂、法国DCNS集团、法国船级社和美国巴斯钢铁造船厂（Bath Iron Works，BIW）等在内的诸多客户，但在国内船舶行业的应用还处于探索阶段。

板材套料是船舶建造的重要环节，是船舶设计和建造衔接的纽带。三维体验平台中的板材轮廓曲线多以参数化样条曲线的形式存在，而在其输出的XML（可扩展置标语言）文件中以NURBS（非均匀有理B样条）曲线的形式描述轮廓。在输出的XML文件导入套料软件之后，套料软件需将XML文件中的NURBS曲线转换为板材切割机识别的直线和圆弧，2次数据转换可能导致曲线精度下降，继而影响零件的装配。因此，若在输出板材零件时就将其曲线轮廓转换为直线和圆弧，即可避免上述问题。直线可作为半径较大圆弧的近似，故通过曲线圆弧样条插值即可提高三维体验平台输出零件轮廓的精度，保证设计生产的一致性。本文以圆弧样条插值为切入点，研究三维体验平台的数据结构和接口，探索三维体验平台的实船应用方法。

1 三维体验平台曲线定义

三维体验平台采用广义坐标定义曲线，曲线上任意一点的位置由参数W确定，其三维坐标由基于W的参数方程确定。多样条曲线由多条曲线连接而成，每条曲线均有其曲线参数。多样条曲线上任意一点的位置既可由曲线全局参数确定，也可由其所在样条曲线的参数确定。三维体验平台曲线具体定义方式见图1。

图1 三维体验平台曲线定义方式

2 三维体验平台圆弧样条插值技术路线

由于三维体验平台并未给出其曲线的确切描述方程，仅给出计算曲线上任意一点的坐标、切线方向和曲率半径等几何信息的接口函数，故无法采用解析的方式对曲线进行插值，只能通过多次迭代逼近求解。求解方式为：

1) 求取曲线的拐点，将曲线分割为凹凸性一致的小段曲线；

2) 采用二分法，迭代求取满足精度要求的各段圆弧，迭代求取给定插值点的最小误差圆弧及给定圆弧的误差。

方案流程见图2。

图2 圆弧样条插值流程

2.1 曲线分割

在船体结构中，板材的边界多为凹凸性一致的曲线，但在艏部和艉部的一些以外板为边界的板，其边界曲线的曲率变化剧烈，凹凸性不一致。因此，需首先求得边界曲线中凹凸性变化的损点，将曲线分割为凹凸性一致的小段曲线。

在三维体验平台中，曲线多以参数化样条曲线的形式存在。因此，可通过判断参数化样条曲线中控制点处的切向量的变化来判断曲线的凹凸性变化。可通过差分代微分的方式计算控制点处的切向量变化，通过对比控制点附近点处的切向量与控制点切向量得到后者的变化。

图3为参数化样条控制点处曲率变化，参数化曲线上2个控制点A和B处的切向量分别为a、b，其附近点处的切向量分别为a′、b′。若(a×a′ )· (b×b′ ) ＞ 0，则A、B两点间的凹凸性未发生变化；若(a×a′ )· (b×b′ ) ＜ 0，则A、B两点间的凹凸性发生变化。

图3 参数化样条控制点处曲率变化

在凹凸性发生变化的两点间，通过二分法多次迭代逼近，即可求得曲线拐点。采用二分法迭代求取拐点的流程见图4。

图4 采用二分法迭代求取曲线拐点流程

通过曲线上的拐点即可完成曲线分割，得到凹凸性一致的小段曲线。

2.2 最佳圆弧样条插值

在给定插值点之后，仅有2个插值点无法确定插值圆弧，但可求得误差最小的最佳圆弧。最佳圆弧也通过二分法迭代逼近的方法求取。

2.3 插值圆弧精度误差计算

在给定插值圆弧之后，需计算插值圆弧与原曲线之间的精度误差。图6为插值圆弧误差计算，其中为待插值曲线为插值圆弧；点O′为插值圆弧的圆心；点D为曲线上的动点；点E为曲线上的动点。点D距插值圆弧的最短距离点E距插值圆弧的最短距离其中为插值圆弧的半径。分别通过二分法迭代求得1Δ和2Δ的最大值1maxΔ和2maxΔ，二者中的最大值maxΔ即为该插值圆弧的误差。

图5 采用二分法求取最佳插值圆弧

图6 插值圆弧误差计算

3 结果验证

根据上述圆弧样条插值方案，结合三维体验平台的二次开发接口，开发实现曲线的自动插值。在三维体验平台上对插值结果进行重建，并将其与原曲线相对比。测试模型选取艉轴部船壳曲面作为边界，初始误差为0.1mm，插值结果见图7，所得插值圆弧共20段。通过分段测量原始曲线与圆弧样条之间的最大距离，可知插值的最大误差为0.103mm，满足精度要求。

图7 圆弧样条插值结果

4 结 语

本文针对三维体验平台在输出曲线轮廓时进行多次曲线格式转换导致精度丢失的问题，提出三维体验平台直接将曲线输出为样条圆弧的方案。通过对三维体验平台曲线定义方式进行分析，探索出采用二分法逐次迭代逼近的圆弧样条插值方案。通过二次开发实现曲线的自动插值，在三维体验平台上将插值结果与原始曲线相对比，结果表明插值结果完全满足精度要求。相关成果对应用三维体验平台进行生产制造具有一定的参考价值。