带奇点的各向异性Moser-Trudinger不等式

胡 彬， 陈火弟

(东华理工大学 理学院，江西 南昌 330013)

(1)

各向异性的Moser-Trudinger不等式也是Moser-Trudinger不等式的一种推广形式。设F(x)是正的凸的一次齐次函数且F∈C2(n(〗0}),函数F0(x)是F(x)的对偶函数。众所周知，F0(x)也是n上的Finsler度量。Wang等(2012)证明了下面各向异性的Moser-Trudinger不等式：若Ω为n上有界光滑区域，那么对任意的u∈(Ω)和≤1，有不等式：≤C(n)|Ω|。λ≤,kn=|{x∈n∶F0(x)≤1}|，且λn是不等式成立的最佳常数。受到上面的启发，本文创新点是把各向异性的Moser-Trudinger不等式，推广到带一个奇点的各向异性Moser-Trudinger不等式。

1 预备知识

设F(x)∈C2(n)(〗0})是n上非负的偶函数。进一步设F(x)是凸的一次齐次函数，即F(tξ)=|t|F(ξ),∀t∈,ξ∈n，则存在两个常数0(〗0}中是正定的。由Xie等(2016)的结果可得Hess(Fn)在n(〗0}中也是正定的。在满足这些条件的F(x)中，一个典型的例子是当q∈[1,∞)时，取F(ξ)考虑算子，Qnu∶(u)

Fξi(u))，当F(x)≠|x|时，上述算子是非线性的。把这些非线性算子称为Finsler-laplacian算子(也称为各向异性的Laplacian算子)。这类算子已取得了不少研究成果(Alvino et al.，1997；Ferone et al.，2009)。

考虑映照φ∶Sn-1→n,φ(ξ)=Fξ(ξ)，其中Fξ=(Fξ1,Fξ2,…,Fξn)。则象集φ(Sn-1)是n上光滑的凸超平面，称之为F的Wulff形。设集合K∶={x∈n∶F(x)≤1}，定义支撑函数F0(x)∶(x,ξ)。显然F0(x)也是C2(n(〗0})中凸的齐次函数，F0(x)是F(x)的对偶函数，并且,，所以有φ(Sn-1)={x∈n|F0(x)=1}。记集合{x∈n|F0(x)≤1}的Lebesgue测度为κn。另记Wr(0)∶={x∈n|F0(x)≤r}，称为中心在原点，半径为r的Wulff球。

(2)

下面给出函数关于F0的凸对称定义。凸对称是Schwarz对称，参考(Talenti,1976)。考虑Ω⊂Rn上的可测函数μ的一维递减重排μ*=sup{S≥0∶|{x∈Ω∶|μ(x)|>s}|>t,t∈。

函数μ关于F0的凸对称定义为μ#(x)=μ*(κnF0(x)n),x∈Ω*。这里κnF0(x)n是同位于半径为F0(x)的Wulff球的Lebesgue测度，Ω*是中心在原点的wulff球且与Ω有相同的测度。由Alvino等(1997，2009)可知：

引理1 关于凸对称化函数u*，有以下结论：

(3)

2 主要结论的证明

本文把各向异性的Moser-Trudinger不等式，推广到带一个奇点的各向异性Moser-Trudinger不等式。得出以下结论：

(4)

同时

(5)

为方便证明记|Ω|=|WR(0)|(|·|为Lebesgue测度)。不等式(4)只是运用Hölder不等式的简单结果。实际上，对满足βt1时，有

设u#(r)是u关于F0(x)的凸对称重排(r=F0(x))，根据余面积公式，可得

(6)

再利用Hardy-Littlewood不等式和余面积公式，可得

(7)

(8)

并且

(9)

综合式子(6)，(7)，(8)和(9)得到

(10)

(11)

计算得到

并且

3 结论

本文利用余面积公式与凸对称重排法把各向异性的Moser-Trudinger不等式推广到带一个奇点的各向异性的Moser-Trudinger不等式，并最终证明了此不等式。