浅谈职前教师的数学建模竞赛

王鸯雨

摘 要 本文以建模的7环节循环模型为依据，以第十四届中国研究生数学建模竞赛E题为例，阐释了数学建模的全过程，并分享了参赛的经验，旨在呼吁通过研究生数学建模竞赛来培养职前教师的数学建模能力。

关键词 数学建模过程 建模竞赛 职前教师 数学建模能力

中图分类号：G451 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.09.036

Abstract Based on the 7-step modeling cycle and taking the title of the 14th China Graduate Mathematical Contest in Modeling as an example， this article explains the whole process of mathematical modeling and shares the experience of the competition. The aim is to call for the training of pre-service teachers' mathematical modeling competency through Graduate Mathematical Modeling Contest.

Keywords mathematical modeling process； modeling contest； pre-service teacher； mathematical modeling competency

1 问题的提出

最近，中华人民共和国教育部制定的普通高中数学课程标准2017年版正式发布。此次修订凝练了学科核心素养，将数学建模作为六大核心素养之一。①同时，由梁贯成教授等人翻译的《数学建模教学与评估指南》在数学教育界也掀起了一股数学建模的浪潮，引起了广泛的关注，中科院院士张平文教授也发文表示数学建模进入课程已经成为了世界教育的潮流。②但是，学生的数学建模能力水平较低，在分析给出的情景后，学生能简化情景，并发现某个真实模型，但不知道如何转化为数学问题。③学生数学建模水平的高低与教师数学建模水平的高低有一定的关系，有学者倡导在卓越教师培养课程体系中引入数学建模课程。④也有学者在研究生数学建模能力培养研究中提出了培养方案，其中也包括组织并参加各类数学建模培训。⑤李大潜院士曾提出数学建模的教学及竞赛是素质教育的有效途径。⑥笔者认为，如果职前数学教师在研究生学习期间，参加全国组织的研究生数学建模竞赛，职前教师对数学建模过程有全方面的了解，将有助于未来指导学生进行数学建模。

笔者参加了第十四届中国研究生数学建模竞赛，以此为例，介绍研究生数学建模竞赛的规则与经验，希望能有更多数学教育方向的研究生们来参与到有趣且有意义的数学建模竞赛中来。

2 数学建模全过程

笔者的团队选择了“多波次导弹发射中的规划问题”，因为团队对于导弹问题相对熟悉，同时发现该题是运用数据进行最优规划的问题，便确定了做E题。题目给出了多波次导弹发射的背景及发射装置行进过程中的大量数据，其中第一小题的问题是：该部接受到实施两个波次的齐射任务（齐射是指同一波次的导弹同一时刻发射），每个波次各发射24枚导弹。给出具体发射点位分配及机动路线方案，使得完成两个波次发射任务的整体暴露时间最短。⑦笔者以第一小题为例，介绍数学建模的全过程。

整个数学建模过程是由7个环节构成的循环，⑧其中最关键的环节是从现实问题情境中提取数学模型的过程。7个环节具体为：

2.1 理解现实问题情境（理解）

在研究生数学建模竞赛中，所有的题目均来自于客观世界的问题。首先，团队所有的成员都要认真审题，不断地读题目，要将题目通读若干遍，对于笔者团队选择的E题，我们将题目读了一遍又一遍后，把题目的背景、已知条件进行全面了解，也配合着查找一系列文献资料，在此之后，团队成员开始讨论，表达自己对于该题目的理解，在讨论中更加明确题意，了解了多波次导弹发射的原则，需要导弹的暴露时间最少，也就意味着在作战期间被击中的可能性越小，所以每道题目的优化目标都是使得暴露时间最少，同时也了解了多波次导弹的大致路线，发射装置在待机地域已经携带了导弹且只能携带一枚，到达发射点位进行齐射，齐射即同一波次的导弹同一时刻发射，第一波次发射完成后，立即机动到转载地域装弹，完成装弹后再机动至下一波次的发射点位（每个发射点位使用不超过一次）进行齐射。

2.2 简化或结构化现实情景，形成现实模型（简化）

团队成员查找文献，一起讨论该如何进行简化，如何抽象出数量或空间结构的问题。如E题的题目目标是整体暴露时间最少，我们团队商讨后决定将整体分为三阶段，即找到三阶段总和的最小值。对照着题目给定的作战区域道路示意图，我们均在头脑中形成了发射装置多波次齐射的路线及了解了在行程过程中所需满足的约束条件，如一辆发射装置匹配一个导弹发射点位且发射点位不重复，单车道只允许一辆发射装置通过等。在发射装置路线行进的过程中，我们团队不考虑途中故障，障碍物，且认为装置为质点，并保持匀速运动，在超车时也不考虑安全距离，同时不考虑在发射点位的技术准备时间和撤收时间。在此假设下，进行现实情境的简化，形成现实模型。

2.3 将被结构化的现实模型翻译为数学问题，形成数学模型（数学化）

将现实模型用数学语言进行描绘，将其表達成数学形式。在这个过程中，团队成员一起商讨如何用数学语言写出问题的表达式，列出整个问题涉及的变量，同时要进行符号说明，团队要统一符号，这样有利于三个人的交流。如三阶段总和的最小值，就能用求和基础上再求最小值的函数来表示，即

其中，X为目标函数；记，表示第i阶段第k辆导弹发射装置机动路径中节点的有序集合，表示第i阶段第k辆导弹发射装置机动路径中两相邻节点的时间区间。

如单车道只允许一辆发射装置通过，将单车道上的发射装置分为同向或反向两种情况，其中当发射装置在单车道上同向行驶时，用数学表达为：当时，

上式表示在单车道任意道路节点上，两个发射装置同向行驶时每一时刻到达位置的交集为空集，以避免在单车道上出现错车的情况。其中，表示第k辆导弹发射装置的平均行驶速度，表示第k辆导弹发射装置在第阶段所经路径中相邻两节点的时间区间，q表示时间区间内的某个时刻，表示第k辆导弹发射装置在第i阶段到达其机动路径第个节点的时刻。

在建立数学模型时，注意要自然地选择适用的建模方法，或应用现有的数学模型，建模不盲目追求“高大上”的方法和“全能新”的模型，主要看对问题的针对性和适用性。⑨

2.4 用数学方法解决所提出的数学问题，获得数学解答（数学求解）

在选择求解模型方法的时候，可以选择解决问题的一般求解方法，在查阅相关文献书籍后，确定求解方法。要注意的是，在实现模型求解之前，首先说明求解模型方法的依据和过程，然后给出详细的求解步骤和具体的算法。对于笔者团队解答的E题，我们使用了Floyd算法，该算法可以算出任意两个节点之间的最短距离，易于理解且代码编写简单。并在此过程中采用适当的计算机技术，我们利用EXCEL编程并分析数据，以扩大解决问题的范围，尽可能地减少计算错误。

2.5 根据具体的现实情景解读并检验数学解答，获得现实结果（解释和转译）

对于得到的数学结果，带入到现实情境中进行解读，使用恰当的语言解释其含义，将结果进行明确的表述，并分析其正确性和实用性，检验该解答是否与现实匹配。当笔者团队算出了数据，便回到题目本身及现实的导弹装置运行状况对数据进行解读，诠释数据背后的含义及分析得到的数据的准确性。

2.6 检验现实结果的有效性（检验）

在现实情境中，批判性地看待得到的结果，可以通过模型结果的误差分析来检验模型的准确性，通过问题的实际数据或仿真数据检验模型的实用性。同时，也可进行模型的敏感性分析，检验模型结果的可信度。笔者团队对于所建立模型的合理性也做了适当的评估。

2.7 反馈给现实情景（反馈）

需要参赛团队客观地评价自己论文的优缺点，给出该模型适用的情境，也要写出团队在理解问题上的限制，以及在模型的建立和求解上的局限性，并给出模型改进的想法。笔者团队对于我们所得的模型进行了推广，并针对所建模型的局限性给出了更加全局的改进想法。

3 参赛的经验与反思

在选题时，共有6道题目可任选，建议考虑选择与团队知识面、熟悉程度最相近的题目，这样比较有利于对题目整体的把握与正确的解答。在建模过程中，不要等到模型建立完成后，结果全部出来再开始着手写论文，应该要一边建模一边写作，团队互相鼓励，通力合作。需要注意的是在论文主体撰写完成后，要认真地撰写摘要，摘要是整篇论文的核心，是内容高度的概括，是团队4天以来想法的精华，应该呈现出建模方法，模型，求解方法，结果，解决的问题及效果，特色和创新点，并写出其意义。

四天四夜的数学建模考验的是一个人的毅力，考验的是团队的合作，对于即将步入教师队伍的数学教育专业的职前教师们，只有自己拥有了这些品质，才能让学生们耳濡目染。作为教师，其最终目标是为了学生最终的迁移学习，教育的真正目的是，让学生从学徒变成他们自己的教师，变成自主的终身学习者，并且保持对于世界的好奇心，用所需的工具，去形成他们自己的问题，追求有意义的答案，并且，通过元认知，意识到在这个过程中自己的学习。⑩而在数学建模竞赛过程中，培养的就是自主学习和运用数学知识解决实际问题的能力，当教师自身具备了这种能力，教育教学的很多问题也将迎刃而解。

4 结束语

当数学教育界已掀起了一股数学建模的浪潮之时，作为未来的数学教师，应培养自身的数学建模能力，除了各高校的数学建模课程之余，职前教师们也可以积极地参与到数学建模竞赛中来，不断地挖掘自身的潜力，不断地丰富自身建模能力，不断地完善数学核心素养。当未来的数学教师自身已具备创造力，相信在不久的将来，会培养出一批又一批的人才。

注释

① 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2017：5-6.

② 张平文.数学建模进入课堂已经成为世界教育的潮流[J]. 数学教育学报，2017.26（6）：6-7.

③ 纪雪颖.高中学生数学建模能力水平研究[D]. 华东师范大学，2010.

④ 钟一兵.卓越教师培养课程体系中引入数学建模课程的思考[J].肇庆学院学报，2015.36（2）：29-32.

⑤ 孙杰宝，吴勃英，张达治.研究生数学建模能力培养研究[J].教育教学论坛，2017（33）：80-81.

⑥ 李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学，2002（10）：41-43.

⑦ 中国研究生数学建模竞赛官网.

⑧ 蔡金法，徐斌艳.也論数学核心素养及其构建[J].全球教育展望，2016.45（11）：3-12.

⑨ 韩中庚.数学建模竞赛论文的写作方法[J].数学建模及其应用，2017.6（2）：42-48.

⑩ Hattie J & Fisher D.Visible Learning for Mathematics[M].SAGE.2017.