基于相关性理论和灰色模型的大学生体能测试分析

, ,

(1.广州城建职业学院数学建模实验室，广东 广州 510925 ； 2.广州中医药大学经济与管理学院，广东 广州510006 )

0 引 言

大学生体质健康关系到民族未来的发展，教育部要求每年以学校为单位组织展开大学生体能测试，并将统计数据整理上报，以便全面了解大学生体质发展状况。

以跟踪采集某学院4年来近2万名学生的体测样本为基础，采用拉以达法则剔除异常数据，减小了模型的随机误差，结合相关系数、回归树等数学模型，较为全面地计量了身体质量指数-BMI(Bodymass Index)对运动指标的影响，引入均值灰色预测模型对未来3年大学生体质变化趋势进行了预测。

1 主要模型及其机理

以年为单位预测大学生体质发展趋势，但仅有2014-2017年数据，小样本、贫数据是其鲜明特点，因此灰色预测较为合适，但以男生肺活量序列(3332.922，3810.932，3592.433，3846.573)、50m跑序列(6.961，7.074，7.245，6.858)为例，有显著的振荡情形，而相较原始差分、离散GM(1,1)而言，均值GM(1,1)(或EGM)精度更高，因此引入EGM模型[1]。

2 实证分析

2.1 数据获取与指标体系构建

以某学院2014-2017年体测数据为基础，总样本20092个，构建体测指标体系：身高、体重、BMI、肺活量、立定跳远、坐位体前屈、50m跑，另外男生包含1000m跑、引体向上，女生包含800m跑、仰卧起坐等指标。

如下以男生为例建立模型，采用拉以达法则剔除2014-2017各年指标下数据的异常值。

依此原则，落在上述区间外的样本可认为它与均值误差过大，作为异常值加以剔除，对剔除后的数据进行描述性统计分析。如表1所示，可发现各指标变化趋势：身高、引体向上、1000m跑逐渐变大；体重、BMI逐渐变小；引体向上、立定跳远、肺活量、50m跑振荡变化，趋势不定。

表1 2014-2017年各体测指标数据平均值(男生)

2.2 关联度模型计量与分析

为探知BMI，即体质指数对各个运动指标，如引体向上、1000m跑等影响大小的问题，文中领域文献未能建立起合适的函数计量模型，主要存在拟合优度偏低或未通过显著性检验等问题，例如多元线性回归、Logistic回归模型等(伪)拟合优度均不超过15%等，从关联度角度来探索他们之间的数量关系。

因探讨的所有指标都是连续性变量，所以可通过计算各指标间余弦关联度，即Pearson相关系数R描述各指标关联程度[3]。

式中样本(Xi,Yi),i=1,2,…n为(X,Y)的一组随机取样，运用Matlab软件求出相关系数R，如表2所示。

表2 各体测指标相较于BMI的相关系数(男生)

通过表2可以看出，BMI除了与肺活量正相关外，与其它指标均负相关。BMI与各指标关联度排序依次为引体向上、肺活量、立定跳远、坐位体前屈、1000m跑、50m跑，虽然各相关系数都通过了显著性检验，但普遍偏低，且相互之间差距较小，为消除上述模型存在取样和统计推断所带来的偏差，进一步引入回归树模型(CART)检验与修正各体测指标与BMI之间的关联度。

利用回归树模型探索各指标关于BMI的重要性主要是以Gini指数表征回归树节点的纯度，Gini指数越大则纯度越低，而在数据打乱的前提下，以Gini指数变化的均值看作自变量相对于因变量的重要程度度量。在运用SPSS软件做回归树分析的过程中可计算其它体测指标关于BMI的重要性，结果如表3所示。

表3 各体测指标相较于BMI的重要性(男生)

表2与表3呈现的偏差既有模型选取不同带来的系统偏差，又有样本选取造成的随机误差，为更客观地描述BMI与各指标间的关联度，结合上述两模型计量结果，修正BMI与体测指标的关联度。修正结果如下：BMI与引体向上关联度最高；BMI与立定跳远、肺活量关联度次之，另外，BMI与该两项指标关联度大体相当；BMI与1000m跑、坐位体前屈、50m跑关联度最低，其次，BMI与该三项指标关联度大体相当。

依此类推，可以得到女生BMI与仰卧起坐关联度最高，与立定跳远关联度次之，而BMI与肺活量、800m跑、坐位体前屈、50m跑等关联度都偏低。

2.3 灰色预测模型计量与分析

基于2014-2017年表1所示数据，为预测大学生体质发展趋势，以BMI为例，其变化未呈现出明显的指数趋势，因此采用均值GM(1,1)模型进行计量。

借助Matlab软件计算得：原始序列为X(0)=(21.139，21.034,20.482，19.908)，累加得1-AGO序列

X(1)=(21.139，42.173，62.655，82.563)

计算得到参数估计值为

则对应时间的响应式为

-775.513e-0.0275i+796.742

带入上述式子可得到模拟序列

残差序列为

ε(0)=(0，-0.004,0.013，-0.005)

进而得到平均相对误差

通过上述时间响应式，即预测函数，得到2018、2019、2020级BMI预测值分别为21.038、20.468、19.913。

重复上述方法可得到其它指标的预测值及相对应的平均相对误差，如表4、表5所示：

表4 2018-2020年各体测指标预测值(男生)

从表4可以得到，身高呈现缓慢增长趋势，但幅度变化较小；体重相对下降；BMI呈现极速下滑趋势；引体向上、立定跳远、肺活量、坐位体前屈均呈现平缓上涨趋势；50m跑用时在缩短；但1000米跑用时却在逐渐变长，且变化幅度较大。

表5 2018-2020年各体测指标预测平均相对误差(男生)

从表5可以看到预测的平均相对误差中，除去坐位体前屈、立定跳远、肺活量误差稍大，精度稍低，剩余指标预测的平均相对误差较小，总体说明EGM模型是较为理想的预测体能素质发展趋势的模型。

依次类推，也可得到女生各项指标在未来三年的预测值及平均相对误差。

4 结 论

基于相关分析、回归树、均值GM(1,1)等数学模型，有效地解决了体能测试指标间关联度和预测问题，并给出了关联系数与预测方程。而且，模型呈现出误差小、精度高的特点，说明使用适当的数学模型可解决类似于体能测试等诸多实际问题。

通过实证分析可以得出：男生BMI与引体向上指标关联度最高，与50m跑关联度最低，未来三年男生平均身高增加趋缓，但平均体重却急剧减小，平均BMI下降明显，平均肺活量增大，但1000m跑却呈现明显下滑趋势；女生BMI与仰卧起坐关联度最高，未来三年女生平均身高平缓增加，平均体重也急剧减小，平均BMI略有下降，平均肺活量明显增大，800m跑成绩下滑显著。但BMI关于运动指标的函数计量模型仍有待于进一步研究。