构造函数 曲径通幽

边红霞

(河北省易县中学 074200)

函数是高中数学最重要的内容，一方面，函数性质的综合运用，使数学达到了一个无与伦比的境界，另一方面，函数思想渗透到数学的各个分支，如近几年高考导数试题，都以函数为背景，探讨方程、不等式、参数的取值范围等问题.在解答的过程中，当遇到阻碍，几经曲折，山穷水尽之处，构造函数，成为力挽狂澜之举.

一、确定方程的根

函数、方程、不等式三者之间存在着密切联系，经常通过相互转化来达到解决问题的目的.特别是对于求方程的根，一些复杂的多种运算构成的方程，更是无从求解，这时，可以考虑构造函数，利用函数的零点，来确定方程根的个数.

二、证明不等式

在证明不等式时，当所证式子的结构非常复杂，用通常的比较法、配方法、分解因式等方法不能正常解决时，可以构造函数，通过求导，利用函数的单调性、极值等生成不等关系，证明不等式，使解答过程峰回路转.

三、求参数的取值范围

对于求参数范围问题，一般是通过函数思想来解决.但为了解答的方便，当式子的结构复杂、思路不清晰时，往往要先进行变形，然后再构造新函数，通过研究函数的极值来解决.

例3 (2013年全国卷Ⅰ理)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2;(1)求a,b,c,d的值；(2)若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.

综上，k的取值范围是[1,e2].

在解答导数问题中，都以函数为前提，无论是方程、不等式、参数的范围，都是在适当的时候构造函数，利用函数思想解决，在遇到重重困难时，构造函数，曲径通幽！