高考数学抽象函数解题方法探讨

黄立峰

(江苏省常州市武进区湟里高级中学 213000)

抽象函数是一类比较综合的题型，它主要就是指题目中不给出具体的式子，只给出一些具有某些性质或者是运算规律的函数.这种抽象函数是高中学习的难点也是高考考查的重点，它能够有效考查学生们分析问题、解决问题的能力和逻辑思维，所以学生在日常学习中一定要重视对数学中抽象函数的学习.接下来，本文将主要就常见的抽象函数类型以及相应的解题思路等几个方面进行详细的研究和探讨.

一、高考抽象函数中常用的几种解题思路

抽象函数解题是一个复杂且考查知识点较多的题型，常见的解题思路有三种：化抽象为具体，还原抽象函数本质；数形结合，通过画图使抽象函数形象化；摘取有效信息，使函数有效化.其中，化抽象为具体，还原抽象函数本质就是考虑到出题人的意图而得出的一种解题思路，出题人在进行出题时不会乱出，而是根据已有函数的共性来设问，这就要求解题人在进行解题时要将给出的抽象函数和我们所学过的函数联系起来，发现共性，进而找出函数的具体形式和性质以便解题.数形结合，通过画图使抽象函数形象化是在做数学题中最常用的一种解题思路，有时候求解抽象函数的解析式并不容易，所以我们可以根据给出的条件画出图象，要注意的是在画图象的时候要充分考虑其奇偶性、周期等性质.摘取有效信息，使函数有效化这种方法是在前两种方法都无法解题时用到的，这时候我们就必须深入挖掘题干中给出的有效信息，然后再结合图象等方法来解题.

二、高考中数学抽象函数常见的题型

1.解函数值

针对这种求函数值的问题，可以将其和具体的函数进行联想，从而找到解题的突破口.以下面这道题为例：

例1 在实数集合中存在函数F(x),已知函数F(x+2)[1-F(x)]=1-F(x),F(-2)=1-31/2,那么由上述条件可以得出F(2006)为多少？

解上面并没有给出具体的函数，这就需要学生们思路灵活，学会化抽象为具体，由已知条件我们可以得出F(x+2)=[1+F(x)]/[1-F(x)].我们可以看到题中给出的是求F(2006)的值，如果一步一步代公式求是十分麻烦的.观察上面的式子可以看出这个式子和tan(x+π/4)=(1+tanx)/(1+tanx)是有相似之处的，根据以往的学习，我们知道tanx是有周期性的，所以相应的tan(x+π/4)也是有周期性的.由上面的式子和给出的信息我们可以列出如下公式:

F(x+8)=F[(x+4)+4]=-1/F(x+4)=F(x).

由上面两个式子我们可以得出F(2006)=F(2000+6)=F(8*250+6)=F(6)=F(-2+8)=F(-2)=1-31/2.

在求解类抽象函数问题时，要注意找到的具体函数保证任何条件下的抽象函数结论都成立，在找出具体函数之后就可以找到相应的性质进而将问题解出.

2.比较函数的大小

在比较大小时，大多数人的思路就是将实际数值求出来然后再比较大小，这种思路不仅复杂还存在着极大求不出的可能.因此，针对这种题型可以采用图象的方法解决.

例2 已知在(-∞，+∞)上存在函数F(x)是增函数，存在函数G(x)是偶函数，这两个函数在(0，+∞)上的图象重合.存在任意实数a>b>0，那么下列不等式中哪几个是正确的？

(1)F(b)-F(-a) >G(a)-G(b);

(2)F(b)-F(-a)

(3)F(a)-F(-b)

(4)F(a)-F(-b)

解我们可以根据上述条件画出F(x)和G(x)的图象，如右图.通过图象我们可以得出选项(1)和(3)是成立的.

这种数形结合的方法是较为常用的一种方法，既简单又节省时间，将图象画出后便可以直接观察函数，从而轻松解决问题.

3.求具体的函数解析式

除了上面几种，代入特殊值、等价换元也是求解抽象函数常用的方法.

例3 现有一函数，满足条件F(F(π/2)=b,其中b为常数.已知F(0)=m(常数)，F(x+y)+F(x-y)=2F(x)cosy,求F(x)的解析式.

解我们可以对x、y进行赋值，令x=0，y=n,则有F(n)+F(-n)=2mcosn.设x=F(π/2)+1，y=F(π/2)，则F(π+n)+F(n)=0；设x=F(π/2)，y=F(π/2)+1，则F(π+n)+F(-n)=-2bsinn.根据上面三个式子可以得出F(x)=acosx+bsinx.

综上所述，抽象函数作为高考数学中常见的一个题型，占有很大的比重，这就要求学生们在平常做题时要掌握相应的解题技巧，学会挖掘题干中的有效信息，利用化抽象为具体，数形结合、代换等方法，针对不同题型灵活解题，从而实现高效、快速的解题.