浅析公务员录用考试中一次同余问题的方法与技巧

李青柏

(云南省昭通学院数学与统计学院 657000)

一、提出问题

在公务员录用考试、事业单位录用考试、选聘高校毕业生到村任职等诸多考试中，皆涉及一次同余问题.利用“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”算法的数学原理是什么？具有普遍实用性吗？如何利用该算法解决相关问题？本文就对这些问题作简要剖析.

二、主要结论

(1)若a1=a2=…=ak=a,则x≡a(modm);

(2)a1+m1=a2+m2=…=ak+mk=b,则x≡b(modm);

(3)m1-a1=m2-a2=…=mk-ak=c,即x≡-c(modm).

证明(1)设a1=a2=…=ak=a,于是x≡a(modm1),x≡a(modm2),…,x≡a(modmk).则m1|x-a,m2|x-a,…,mk|x-a;从而[m1,m2,…,mk]|x-a,即m|x-a,故x≡a(modm).

(2)设a1+m1=a2+m2=…=ak+mk=b,由x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),…,x≡ak(modmk)得,m1|x-a1,m2|x-a2,…,mk|x-ak，则m1|x-a1-m1,m2|x-a2-m2,…,mk|x-ak-mk,即m1|x-b,m2|x-b,…,mk|x-b,从而[m1,m2,…,mk]|x-b,即m|x-b,故x≡b(modm).

(3)设m1-a1=m2-a2=…=mk-ak=c,由x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),…,x≡ak(modmk)得，m1|x-a1,m2|x-a2,…,mk|x-ak,则m1|x-a1+m1,m2|x-a2+m2,…,mk|x-ak+mk,即m1|x+c,m2|x+c,…,mk|x+c,从而[m1,m2,…,mk]|x+c,即m|x+c,故x≡-c(modm).证毕.

三、实例

例1 (1)一个两位数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则该数为____.

(2)一个小于500的三位数除以5余1，除以6余2，除以8余4，则该数为____.

(3)一个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，则满足条件的最小正整数为____.

解(1)设该数为x，余数都为1，除数4,5,6的最小公倍数是60，根据定理，则x=60n+1,n∈Z.由于x是两位数，所以，当n=1时，x=61满足条件.

(2)设该数为x，除数5,6,8的最小公倍数为120，被除数与除数的差相等，即5-1=6-2=8-4=4，根据定理，则x=120n-4,n∈Z.由于x是小于500的三位数，所以，当n=1,2,3,4时,x=116,236,356,476满足条件.

(3) 设该数为x,除数5，6，7的最小公倍数为210，除数与商的和相等，即5+3=6+2=7+1=8，根据定理，则x=210n+8,n∈Z.所以，当n=0时，x=8满足条件.

例2 一筐鸡蛋：1个1个拿，正好拿完.2个2个拿，还剩1个.3个3个拿，正好拿完.4个4个拿，还剩1个.5个5个拿，还差1个.6个6个拿，还剩3个.7个7个拿，正好拿完.8个8个拿，还剩1个.9个9个拿，正好拿完.问筐里最少有多少鸡蛋？

解设这筐鸡蛋共x个，用同余式组表示为：

例3 (江西省公务员考试行测2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间.若排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人.则学生人数是( ).

A.102 B.98 C.104 D.108

解析该数除以5余3，除以7余3，余数同为3，且5与7的最小公倍数为35，则该数为：35n+3.当n=3时，该数为108.故选答案D.

“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”具有普遍实用性.，利用本文的定理有效地化解一次同余式，使得解一次同余式组更加简捷.从而有效地回避了孙子定理中要求模互素的情形.可以归纳，得到：

1.x除以n1余a，除以n3余a,…,除以ni余a，则x=kn+a,k∈Z，其中n为n1,n2,n3,…,ni的最小公倍数；

2.x除以n1余a1，除以n2余a2,除以n3余a3，…,除以ni余ai，若a1+n1=a2+n2=n3+a3…=ak+nk=b,则x=kn+a,k∈Z，其中n为n1,n2,n3,…,ni的最小公倍数；

3.x除以n1余a1，除以n2余a2,除以n3余a3，…,除以ni余ai，若n1-a1=n2-a2=n3-a3…=nk-ak=c,则x=kn-c,k∈Z，其中n为n1,n2,n3,…,ni的最小公倍数.