高精度液浮陀螺仪在双轴转台上的标定方法与误差分析

刘庆博，任顺清，曾 鸣，王常虹

(哈尔滨工业大学空间控制与惯性技术研究中心，哈尔滨 150001)

0 引 言

液浮陀螺仪作为一种重要的惯性仪表，广泛应用在战略导弹中，是惯导平台系统中的核心器件[1]。20世纪50年代初，美国麻省理工学院研制出了达到惯性级精度的液浮陀螺仪，标志着以陀螺仪为核心的惯性导航技术已经成熟，与此同时，也开始了对陀螺仪模型测试的探索和研究。国内对液浮陀螺仪的浮子偏心[2]、转子材料[3]等展开了研究。目前对于液浮陀螺仪的标定和补偿，主要基于重力场的多位置翻滚试验，利用重力加速度和地球自转角速率作为输入，得到惯性仪表的输出后，利用最小二乘法辨识其误差模型系数。文献[4- 5]采用多位置法测量了惯性测量单元的失准角等误差模型系数。文献[6]设计了挠性陀螺仪的8位置D-最优试验方案，提高了陀螺仪一次项漂移系数的估计精度。文献[7]提出了利用三轴转台标定陀螺仪动态误差模型系数的最优三轴速率试验计划。文献[8]设计了8位置标定动力调谐陀螺仪的误差模型系数，陀螺仪各轴沿当地地理坐标系“E-S-W-N-U-D”取向来进行测试，只有一次项误差系数能够完全分离出来，其他系数之间存在约束关系。文献[9-12]针对惯导平台的自标定，设计了16位置标定方案。文献[13]分析了三轴转台的误差，建立与转台误差以及陀螺仪误差模型系数有关的陀螺仪输出全误差方程，并确立了转台误差源与误差模型系数的标定精确度之间的量化关系，但没有自动补偿转台误差。文献[14]提出了半球谐振陀螺仪在双轴转台上的标定方法，实现了零偏，标度因数等常见误差系数的标定，并引入了陀螺仪相对转台的失准角。

为实现液浮陀螺仪的精确标定与测试，本文在常见的8位置测试方法的基础上，提出基于双轴转台的测试方法，引入转台的方位对准误差，角位置误差，垂直度误差等误差源，建立液浮陀螺仪的标定模型，分别采用16位置和20位置测试方法进行标定试验，该标定模型能够自动补偿安装误差、轴线垂直度，使标定的误差模型系数更加准确，最后进行了相应的误差分析，验证了方法的有效性。

1 液浮陀螺仪在双轴转台上标定模型的建立

液浮陀螺仪静态误差模型表达形式如下：

(1)

式中：ωd为陀螺仪的角速率当量输出，单位为(°)/h；ωI为沿陀螺仪输入轴方向的角速率；DF为与比力无关的漂移率，单位为(°)/h；aI，aO，aS分别为沿陀螺仪输入轴I，输出轴O和自转轴S的比力分量；DI，DO，DS分别为沿I，O，S轴比力引起的漂移率系数，单位为(°)/h/g；DII，DSS，DOO分别为沿I，S，O轴的比力二次方引起的漂移率系数，单位为(°)/h/g2；DIS，DOS，DIO分别为沿I和S轴，O和S轴I和O轴比力的乘积引起的漂移率系数，单位为(°)/h/g2；εω为残余误差。

为建立液浮陀螺仪在双轴转台上的标定模型，需要将重力加速度和地球自转角速度矢量在I,O,S轴上准确分配。为此，在双轴转台上建立地理坐标系o0x0y0z0，水平轴坐标系o1-x1y1z1，主轴坐标系o2x2y2z2和陀螺仪坐标系o3x3y3z3。陀螺仪坐标系中x3y3z3分别对应S轴，I轴和O轴。在理想情况下，双轴转台处于零位时，这些坐标系是重合的。双轴转台和各坐标系示意图如图1所示。双轴转台的误差源主要有垂直度误差，角位置误差，零位误差和陀螺仪的安装误差等。相邻坐标系之间的姿态转换关系如下：

1)水平轴坐标系相对于地理坐标系的姿态矩阵

设Δθx是水平轴的零位误差，Δθy是水平轴的水平度，Δθz是水平轴的方位对准误差，Δα(α)是水平轴的角位置误差，α是水平轴的标称转角。水平轴坐标系相对于地理坐标系的姿态矩阵为

Rot(z0,Δθz)Rot(x0, Δα(α))Rot(x0,α)

(2)

式中：Rot(i,θ)表示绕i轴旋转θ角所形成的姿态变换矩阵。

2)主轴坐标系相对水平轴坐标系的姿态矩阵

设Δφy是水平轴与主轴的垂直度，Δγz是主轴的零位误差，Δγ(γ)是主轴的角位置误差，γ是主轴的标称转角。主轴坐标系相对水平轴坐标系的姿态矩阵为

Rot(z1, Δγ(γ))Rot(z1,γ)

(3)

3)陀螺仪坐标系相对主轴坐标系的姿态矩阵

设Δλx，Δλy和Δλz是陀螺仪的安装误差。陀螺仪坐标系相对主轴坐标系的姿态矩阵为

(4)

地球自转角速度在地理坐标系中表示为[0ωecosLωesinL]T，其中ωe为地球自转角速度，L为当地纬度。液浮陀螺仪在双轴转台上测试，水平轴和主轴均处在位置状态，陀螺仪的I轴敏感的角速率为地球自转角速率在陀螺仪坐标系下I轴的分量，故

(5)

重力加速度产生的比力在地理坐标系下表示为[0 0g]T，由于陀螺仪主要敏感的是角速率，对重力加速度产生的比力分量的敏感量较小，是一阶小量，对于比力分量计算误差的敏感量则更小，可视为二阶小量，所以比力分量仅计算标称值。陀螺仪沿I，O，S轴的标称比力分量为

(6)

将式(5)和式(6)代入式(1)，可以得出液浮陀螺仪输出的全误差方程为

V-ωecosLcosαcosγ-ωesinLsinαcosγ+Δα(α)·

ωecosLsinαcosγ-Δα(α)ωesinLcosαcosγ+

Δγ(γ)ωesinLsinαsinγ+Δγ(γ)ωecosLcosα·

sinγ=DF+(DO+ΔλxωesinL)cosα-

ΔλxωecosLsinα-(ΔθzωecosL-ΔθyωesinL)·

sinγ+(DS-ΔγzωesinL-ΔφyωecosL-

ΔλzωesinL)sinαsinγ+(DI-ΔθxωecosL)sinα·

cosγ+(-ΔγzωecosL+ΔφyωesinL-Δλzωe·

cosL)cosαsinγ+ΔθxωesinLcosαcosγ+DIIsin2α·

cos2γ+DSSsin2αsin2γ+DOOcos2α+DISsin2αsinγ·

cosγ+DOSsinαcosαsinγ+DIOsinαcosαcosγ

(7)

式中：V为液浮陀螺仪的指示输出值，三个轴的比力分量均以g为单位。

2 液浮陀螺仪在双轴转台上标定方法及误差分析

2.1 液浮陀螺仪在双轴转台上16位置标定方法

传统的8位置测试方法与本文所采用的16位置测试方法无法同时给陀螺的两个基准轴给予比力激励，所以无法标定出交叉二次项，根据式(1)和式(6)，常数项和二次项之间存在约束关系，即DF，DII，DSS，DOO的系数分别为1，sin2αcos2γ, sin2αsin2γ, cos2α，满足sin2αcos2γ+sin2αsin2γ+cos2α=1，又因为二次项中DOO没有明显的物理意义[15]。因此，对液浮陀螺仪的静态误差模型进行简化，表达式如下：

ωd=ωI+DF+DIaI+DOaO+DSaS+

(8)

那么将式(5)、式(6)代入式(8)，可以得到的液浮陀螺仪输出的全误差方程为

V-ωecosLcosαcosγ-ωesinLsinαcosγ+

Δα(α)ωecosLsinαcosγ-Δα(α)ωesinLcosα·

cosγ+Δγ(γ)ωesinLsinαsinγ+Δγ(γ)·

ωecosLcosαsinγ=DF+(DO+ΔλxωesinL)·

cosα-ΔλxωecosLsinα+(ΔθyωesinL-

ΔθzωecosL)sinγ+(DS-ΔγzωesinL-Δφyωe·

cosL-ΔλzωesinL)sinαsinγ+(DI-Δθxωe·

cosL)sinαcosγ+(-ΔγzωecosL+ΔφyωesinL-

ΔλzωecosL)cosαsinγ+ΔθxωesinLcosαcosγ+

DIIsin2αcos2γ+DSSsin2αsin2γ

(9)

令双轴转台的水平轴和主轴均处于位置状态，控制转台分别处于16个位置，如表1所示，根据式(9)，可得到液浮陀螺仪在16个位置的输出方程表达式，采用加减消元的方式，可以求解出液浮陀螺仪的误差模型系数，表达式如下式(10)～式(15)所示。

表1 双轴转台的角度位置Table 1 Angular positions of the two-axis turntable

(10)

(11)

DI=

Δα(270°)-Δα(180°)]

(12)

ΔφyωesecL

(13)

(14)

(15)

从式(10)～式(15)可以看出，ωe和L是已知量，误差模型系数DO和DI受水平轴和主轴的角位置误差影响，DS受水平轴与主轴的垂直度影响，而其他系数不受转台误差影响，只需根据陀螺仪的指示输出值计算即可。

2.2 液浮陀螺仪在双轴转台上20位置标定方法

表2 双轴转台的角度位置Table 2 Angular positions of the two-axis turntable

双轴转台水平轴和主轴的角位置误差在5″内，相对于地球自转角速率的影响较小，将角位置误差产生的影响归到随机误差中，因此根据表中所示的水平轴和主轴的角位置，得到在20个位置上液浮陀螺仪的输出方程为：

(16)

整理成矩阵形式

U=AD+εω

(17)

其中，系数矩阵为

待辨识的参数矩阵为

D=[DF,DO+ΔλxωesinL, -ΔλxωecosL,

ΔθyωesinL-ΔθzωecosL,DS-ΔγzωesinL-

ΔφyωecosL-ΔλzωesinL,DI-ΔθxωecosL,

-ΔγzωecosL+ΔφyωesinL-ΔλzωecosL,

ΔθxωesinL,DII,DSS,DOO,DIS,DOS,DIO]T

利用最小二乘法求解待辨识的参数矩阵

D=(ATA)-1ATU

(18)

由待辨识的参数矩阵可知，液浮陀螺仪误差模型系数中DF,DII,DSS,DIS,DOS和DIO可以直接得到，一次项系数求解表达式如下：

DO=D2+D3tanL

(19)

DS=D5-D7tanL+ΔφyωesecL

(20)

DI=D6+D8cotL

(21)

式中:Dj为矩阵D中第j行元素。

综上，在得到双轴转台水平轴与主轴的垂直度误差后，根据液浮陀螺仪在双轴转台上20个测试位置的指示输出值补偿掉对应的地球自转速率的影响，再利用式(18)～式(21)，就可以标定出9个液浮陀螺仪误差模型系数。

2.3 液浮陀螺仪在双轴转台上16位置标定方法的误差分析

假设纬度为L=45°，ωe=15.0411(°)/h，液浮陀螺仪的指示输出值的不确定度独立且相等，为σV=10-4(°)/h，角位置误差和垂直度误差的不确定度为0.5″=2.5×10-6rad，以DF的不确定度求解过程为例，求解各个误差模型系数的不确定度。DF的不确定度表达式如下：

(22)

同理，其他误差模型系数的不确定度σDO=5.34×10- 5(°)/h/g，σDI=7.43×10- 5(°)/h/g，σDS=8.84×10- 5(°)/h/g，σDII=6.12×10- 5(°)/h/g2，σDSS=6.12×10- 5(°)/h/g2。

在传统的陀螺仪8位置测试试验中，参照文献[14]，8个位置分别类似于文中16位置试验中的位置1,3,5,6,9,11,13和14，以DO项的求解方程为例来进行误差分析，求解DO项需要结合位置1,3,9和11的方程来求解，即DO=(V1+V3-V9-V11)/4。仅利用这四个位置的输出无法消除转台误差和陀螺仪的安装误差，因此会产生标定误差，求解出DO项的标定误差为ΔDO=ΔλxωesinL。同理，DI，DS，DII和DSS的求解表达式也无法消除转台误差和陀螺仪的安装误差带来的影响，同样会产生标定误差。假设双轴转台的零位误差，水平度误差，角位置误差和垂直度误差为2″，方位对准误差为1′，安装误差为2′，结合式(9)，陀螺仪的误差模型系数的标定误差为：

ΔDO=ΔλxωesinL

(23)

ΔDS= -ΔλxωecosL-ΔγzωesinL-ΔφyωecosL-

ΔλzωesinL-Δγ(π/2)ωesinL

(24)

(25)

(26)

ΔDSS=-ΔθzωecosL+ΔθyωesinL

(27)

容易计算，这些标定误差的最大值为：ΔDO=0.0062(°)/h/g，ΔDS=0.0126(°)/h/g，ΔDI=0.0064(°)/h/g，ΔDII=1.03×10-4(°)/h/g2，ΔDSS=0.0030(°)/h/g2。根据上述分析可知，转台误差和安装误差对DO，DS，DI和DSS的影响较大，特别是液浮陀螺仪在双轴转台上的安装误差不易测量与控制，若采用8位置标定试验，无法消除安装误差，影响误差模型系数的标定结果。对于所提出的16位置标定方法，只要安装误差稳定，就可以完全消除安装误差对标定结果的影响。

2.4 液浮陀螺仪在双轴转台上20位置标定方法的误差分析

假设纬度为L=45°，ωe=15.0411(°)/h，液浮陀螺仪的指示输出值的不确定度独立且相等，与第2.3中假设值相等，考虑转台角位置误差干扰，式(16)输出矩阵的不确定度为σU=1.2×10-4(°)/h，垂直度误差的不确定度为0.5″=2.5×10-6rad，令B=(ATA)-1AT，以DF的不确定度求解过程为例，求解各个误差模型系数的不确定度。在最小二乘法中，DF=B1,1U1+B1,2U2+…+B1,20U20，那么DF的不确定度表达式为

σDF=

(28)

同理可以求得其他误差模型系数的不确定度：σDO=7.47×10-5(°)/h/g，σDS=9.90×10-5(°)/h/g，σDI=1.25×10-4(°)/h/g，σDII=1.08×10-4(°)/h/g2，σDSS=1.24×10-4(°)/h/g2，σDIS=1.27×10-4(°)/h/g2，σDOS=1.19×10-4(°)/h/g2，σDIO=1.11×10-4(°)/h/g2。

设液浮陀螺仪的静态误差模型系数分别为：DF=1.1052(°)/h，DO=0.8612(°)/h/g，DS=-0.2645(°)/h/g，DI=1.3248(°)/h/g，DII=-2.4743×10-2(°)/h/g2，DSS=2.1966×10-2(°)/h/g2，DIS=-2.0372×10-3(°)/h/g2，DOS=1.8603×10-3(°)/h/g2，DIO=-1.8420×10-3(°)/h/g2，并假设双轴转台的零位误差，水平度误差，垂直度误差为2″，方位对准误差为1′，安装误差为2′，利用式(16)计算出20个测试位置液浮陀螺仪的输出，在不考虑转台误差和陀螺仪的安装误差的情况下，根据输出数据，利用最小二乘法计算出静态误差模型系数与设定值的差值分别为：ΔDF=-7.5742×10-4(°)/h，ΔDO=-6.1998×10-3(°)/h/g，ΔDS=-1.0474×10-2(°)/h/g，ΔDI=-3.5935×10-3(°)/h/g，ΔDII=-4.0947×10-3(°)/h/g2，ΔDSS=-8.4486×10-5(°)/h/g2，ΔDIS=-4.2179×10-3(°)/h/g2，ΔDOS=-5.7645×10-3(°)/h/g2，ΔDIO=3.6697×10-5(°)/h/g2。

通过对比可以看出，若标定过程中不考虑转台误差和陀螺仪的安装误差，误差模型系数的标定结果会产生较大误差，影响误差系数的标定精度，因此在实际标定与测试过程中，必须考虑转台误差和陀螺仪的安装误差。文中所提出的20个测试位置方法在考虑转台误差的情况下，利用最小二乘法求解出的液浮陀螺仪静态误差模型更加接近真实值，因此可有效提高液浮陀螺仪静态误差模型系数的标定精度。对于传统的8位置标定方法，只有一次项误差系数能够完全分离出来，其他系数之间存在约束关系，并且没有考虑转台误差和陀螺仪的安装误差对误差模型系数标定结果带来的影响，同样也没有设计相应的算法来消除影响。与16个测试位置方法相比，20个测试位置方法虽然标定精度略有降低，但可以标定出液浮陀螺仪静态误差模型系数中交叉二次项。因此，本文所提出的20位置标定方法可以标定出9个静态误差模型系数，可以自动规避双轴转台误差，也可以消除不易测量与控制的陀螺仪安装误差对标定结果的影响，以此来提高标定精度。

综上，将三种液浮陀螺仪的多位置标定方法进行对比，优缺点如表3所示。

表3 三种多位置标定方法对比Table 3 Comparison of three multi-position calibration methods

因此，本文所提出的液浮陀螺仪标定方法与传统的8位置标定方法相比，16位置标定方法可标定出静态误差模型系数中的常数项，一次项和两个二次项，20位置标定方法在此基础上可标定出交叉二次项，并且这两种方法都可以自动补偿或规避双轴转台误差，并可消除不易测量的陀螺仪安装误差对标定结果的影响。

3 结 论

本文为提高液浮陀螺仪静态误差模型系数的标定精度，提出了基于双轴转台的液浮陀螺仪的标定方法。将双轴转台的误差，陀螺仪的安装误差以及陀螺仪自身的静态误差建立在陀螺仪的标定模型中，在1g重力场中分别建立了16个测试位置和20个测试位置陀螺仪的标定方案。采用误差分离技术与最小二乘法来标定液浮陀螺仪的误差模型系数。与传统的8位置标定方法相比，16位置标定方法可标定出静态误差模型系数中的常数项，一次项和两个二次项，20位置标定方法在此基础上可标定出交叉二次项，本文所提出的两种测试方法都可以自动补偿或规避双轴转台误差，并可消除不易测量的陀螺仪安装误差对标定结果的影响，进一步提高了液浮陀螺仪的标定精度。