探究基向量、基函数与傅里叶级数之间的联系

汤一

【摘要】傅里叶级数是法国数学家、物理学家傅里叶在研究热过程的解析解时提出的数学工具。作为函数分析的一套重要理论，傅里叶级数对于数学和物理学的发展产生了深远的影响。从数学的观点来看，傅里叶级数实际上是函数空间基函数展开的一个特例，而函数空间与向量空间又有着千丝万缕的联系。在本文中，我们将通过比较向量空间和函数空间的数学结构，建立基向量、基函数与傅里叶级数之间的联系，并从更高的角度去理解傅里叶级数的内涵。

【关键词】向量空间 函数空间 基函数 傅里叶级数

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）37-0130-01

前言：我们生活在一个三维的物质空间。在这个空间中，有很多物理量具有大小和方向的双重属性。比如，物体的位移、速度、动量等等，显然无法用一个数来表征它们的性质。数学上，可以把这些物理量抽象成一个数学概念——向量，并由此定义向量空间。在向量空间中，一个重要的概念就是基向量。下面我们先讨论基向量的数学性质。

1.基向量的数学性质

一般来说，一组基向量要满足正交、归一、完备三条性质。

1.1基向量的正交性

在研究物理问题时，首要的就是建立参考系。我们知道，在建立直角坐标系时，需要引入沿着x， y， z三个方向的单位向量i， j， k，才能将直角坐标系完全确定下来。我们要求这三个单位向量两两之间相互垂直，即要求它们的点积满足：i·j=j·k=k·i=0。对于普遍向量空间的一组基？琢，？茁，？酌…，我们类似要求？琢·？茁=？茁·？酌=？酌·？茁=…=0。从几何上看，这组基向量在高维空间是相互垂直的。数学上把基向量的这种性质称为正交性。

1.2 基向量的归一性

为了研究问题的方便，数学上往往还会对基向量做归一化处理。对于直角坐标系的三个基向量i， j， k，它们满足i·i=j·j=k·k=1。对于普遍向量空间的一组基？琢，？茁，？酌…，我们同样要求？琢·？琢=？茁·？茁=？酌·？酌=…=1。这就是基向量的归一性。对于还没有归一的基？琢，？茁，？酌…，可以通过重新定义基？琢=？琢/|？琢|， ？茁=？茁/|？茁|， ？酌=？酌/|？酌|…，对基向量进行归一化。

1.3基向量的完备性

完备性是基向量最重要的性质，它要求：向量空间中任何一个向量都可以通过基向量的某种线性组合表达出来。对于直角坐标系的基向量i， j， k，这一点是显然的：三維空间任何一个向量r都可以投影在x， y， z三个轴上，投影的坐标就是r在i， j， k三个基下的展开系数。一般的，对于向量空间任意的向量？浊，完备性要求？浊=A？琢+B？茁+C？酌…。其中，（A， B， C， …）被称为基向量的展开系数，而基向量的个数也被称为向量空间的维度。

2.从向量空间到函数空间

类比于向量空间，数学上也可以定义函数空间。函数空间的元素就是函数f（x）。事实上，函数空间与向量空间有着类似的数学结构，同样可以引入基函数的概念，以及定义基函数的正交性、归一性、完备性。下面我们就逐一进行讨论。

2.1 基函数的正交性

对于向量空间，正交性可以理解为基向量之间相互垂直的几何关系。对于函数空间的一组基函数？琢（x），？茁（x），？酌（x）…，通过几何关系去理解正交性是困难的。类比于向量空间中的点积，可以定义函数空间中两个函数的内积：？琢（x）·？茁（x）。数学上，我们可以理解正交性为基函数之间的内积为零，即？琢（x）·？茁（x）=？茁（x）·？酌（x）=？酌（x）·？琢（x）=…=0。

2.2 基函数的归一性

通过定义函数空间的内积，基函数的归一性也很好说明，即要求：？琢（x）·？琢（x）=？茁（x）·？茁（x）=？酌（x）·？酌（x）=…=1。从几何角度来看，相当于要求每个基函数具有单位长度。对于没有归一的基？琢（x），？茁（x），？酌（x）， …，可以通过重新定义基？琢（x）=？琢（x）/|？琢|，？茁（x）=？茁（x）/|？茁|，？酌（x）=？酌（x）/|？酌|…，对基函数进行归一化。

2.3 基函数的完备性

完备性也是函数空间中基函数最重要的性质。与向量空间中完备性的意义相同，函数空间中的完备性是指：函数空间中任何一个函数f（x）都可以通过基函数线性展开而得到，即f（x）=A？琢（x）+B？茁（x）+C？酌（x）…。与向量空间不同，函数空间基函数的数目是无穷的，因此函数空间的维度也是无穷的。

3.从基函数到傅里叶级数

在前文中我们通过类比，建立了函数空间以及基函数的概念。在函数空间中，是否可以找到这样一组基函数，满足正交、归一、完备的性质？下面就这一点进行说明。

3.1 傅里叶级数的基函数

法国数学家傅里叶首先发现，这样一组基函数是存在的，即为正弦、余弦函数。这些函数之间相互正交，也可以进行归一化处理。特别的，任何一个周期性的函数，都可以用正弦和余弦函数构成的无穷级数表示出来。这表明：傅里叶级数只是函数空间中基函数线性展开的一个特例，即对应于基函数选取为正弦、余弦函数的情形。

3.2 其它的基函数

函数空间中基函数的选取不是唯一的。除了正弦、余弦函数之外，数学家们还发现可以找到更多的基函数，包括：贝塞尔函数、勒让德函数、球谐函数等等。函数空间中的任一函数，也可以选取它们作为基函数进行展开。在量子力学中，这种基函数的展开就对应于量子本征态的展开，而不同的基函数就代表着不同的本征态。

4.小结

我们通过比较基向量与基函数，建立了向量空间与函数空间之间的联系。我们讨论了基函数正交、归一、完备的性质，并指出傅里叶级数只是函数空间中基函数线性展开的一个特例。这可以帮助我们从更高的角度去理解傅里叶级数的内涵，并对于理解其它形式的函数展开也是有帮助的。

参考文献：

[1]潘文杰.傅里叶分析及其应用[M].北京大学出版社， （2000）.

[2]顾樵.数学物理方法[M]. 科学出版社， （2012）.

[3]龚昇.简明微积分[M]. 高等教育出版社， （2006）.

[4]吴崇试. 数学物理方法专题：数理方程与特殊函数 [M]. 北京大学出版社， （2012）.