桥梁非线性动力响应方法及volterra级数非线性方法探讨

冉晴 扈小云 扈玥昕

摘 要：强震下桥梁的破坏和倒塌，造成的人员伤亡和经济社会效益是不容忽视的；另一方面，随着桥梁结构体系越来越复杂和延性抗震设计理念的转变，都使得桥梁非线性抗震验算越来越受到工程师的重视。本文回顾了桥梁非线性动力学问题的发展，总结了目前桥梁非线性抗震验算方法的优、缺点，着眼于非线性系统理论及最新成果，通过volterra级数在非线性系统理论中的成果，探讨了volterra级数在桥梁工程的运用的可行性及优越性，并提出了volterra級数运用于桥梁结构的关键性问题。

关键词：桥梁；非线性动力学；volterra级数；非线性频率响应函数

Abstract： The next earthquake damage and collapsed bridges caused casualties and economic and social benefits that can not be ignored； hand， with the bridge structure system more complex and changing ductility seismic design philosophy that have made non-linear bridge seismic checking more and more attention of engineers. This paper reviews the development of the nonlinear dynamics of the bridge， the bridge excellent summary of the current method of nonlinear seismic check， disadvantages， focusing on non-linear system theory and the latest results， outcomes through volterra series of nonlinear systems theory to explore volterra progression in the use of the bridge project feasibility and superiority， and made a series of key questions volterra applied to the bridge structure.

Keywords： bridge； nonlinear dynamics； volterra series； nonlinear frequency response function

1.引言

我国广阔、复杂的地貌，造就了多山多河的地形，为了方便人们的出行，桥梁作为可以跨谷跨河的工程结构物得到了广阔的发展。其中桥梁动力学问题分析作为桥梁分析中重要的一环，关系到桥梁功能的正常使用和生命财产安全，被研究学者和设计工程师重点关注着。在2008年我国汶川8.0级地震，有24条高速公路、6140座桥梁受损，导致了69225人遇难，4600多万人受灾[1]，造成难以估计的损失。只进行桥梁线性动力分析已经不满足需求，因此破坏性地震下桥梁的非线性动力验算愈来愈得到工程人员的重视。另一方面，现代桥梁体系延性设计的理念的转变、减隔震支座的采用和大量大跨桥梁复杂新体系的出现，都决定着桥梁非线性动力响应分析的必要性。

2.桥梁非线性动力响应发展

经过了各界研究学者的1个多世纪的探索，从1900年日本提出的采用静力等效力来模拟地震力，到现代能够比较完整的考虑地震三大主要效应（峰值、频率、持时）的时域分析方法和频域分析方法，对结构地震动力的线性响应考虑也愈趋细致。非线性动力响应不再满足叠加原理，表现为非常复杂的力学行为，如分叉、混沌现象。这些理论和计算远远不理想，本文并不探讨。本文主要探讨桥梁弱非线性的动力响应。

2.1非线性模型的发展

各界工程师通过对非线性的反应的分析，提出了各种非线性模型模拟非线性激励和响应关系。对于土木结构，材料、隔震支座的屈服、构件间的摩擦等都表现出迟滞的效益，计算相应的非线性动力响应，往往选择带有迟滞恢复力的模型：如双线性模型、Ramberg-Osgood模型、分布弹塑性元件模型及Bouc-wen的辅助微分模型等，以这些模型为基础发展出桥梁工程结构常用的理想弹塑性模型、三线性模型、半经验骨架模型、纤维模型等等。计算方法以分析得到的结果和目标分为确定性分析和随机分析。

2.2确定性方法及发展

这种方法将地震对桥梁结构的作用根据历史统计规律或者其他规律具体为某一特定的作用力，因此忽略地震的随机性和不可重复性。由于这种方法对各种非线性模型有很强的适应性，特别是非线性时程分析，随着数值计算的发展，这种方法广泛运用，桥梁主要的计算软件MIDAS、ANSYS等可以准确实现了对这类方法的计算。例如非线性反应谱方法、poshover分析和非线性时程分析方法。前者属于频域分析，地震反应谱来源于大量的历史统计资料和理论方法进行扩充，相对于弹性反应谱适应性其很小，不同的非线性模型，即使相同地震动所对应的反应谱曲线也不相同。其次，非线性体系不满足叠加原理，多自由度的组合仍然是十分困难的问题。但由于工程结构抗震并不要求过分精确的结构，这种方法对能对动力特征和地震统计规律有较好的体现，所以不少学者对此方法进行深入研究。学者公茂盛、翟长海等人基于大量强震记录，研究了场地条件、延性系数、震级及距离等参数对非弹性反应谱的影响，给出了四类场地条件下的平均等延性地震抗力谱[2]，及非弹性反应谱衰减规律[3]，其成果可供抗震研究和设计直接应用；王丰、李宏男等人考虑了地震动方向的影响建立了基于统计的强度折减系数设计谱[4]；其他学者关于非线性反应谱的研究也考虑强度折减系数、近场效应、多自由度体系效应、结构超强等方面的影响，这里不再赘述。poshover分析，即能力谱分析和需求谱分析、推导分析，是拟静力的分析，通过计算结构基底剪力与顶点位移关系曲线进行性能点计算结合非弹性反应谱达到桥梁抗震分析的目的。国内外学者提出了多种能力谱方法，如ATC-40能力谱方法、Chopra改进能力谱方法、Fajfar改进能力谱方法、潘龙改进能力谱方法等，提高了适应性和精度，几种采用方法的对比，可以参见文献[5]。非线性动力时程方法是几种方法中适应性最广，计算较为准确的方法，能够适应于各种非线性模型，随着计算机技术和非线性数值积分的发展，这种方法得以实现，现在能用于各种有限元软件，实现复杂结构的非线性动力时程计算。这种方法基本原理是基于脉冲响应函数瞬态积分，并通过计算结果改变参数。这种方法因为计算结果比较准确，又有有限元软件支持，是最常用的研究手段，大量文献可供参考，不再列出。

2.3随机方法的发展

这类方法所得出的结果是响应统计值，并可以进而计算某一情况下的破坏概率分析。随机理论出现于较早，但主要发展与20世纪50年代，70年代趋于采用成熟。Rayleigh于1919年第一次提出随机振动的概率。在地震工程中对地震动经常采用平稳化遍历随机过程描述，即随机变量统计特征都与时间无关，使得不少统计学理论得以运用。1930年，著名控制理论學家Winer在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，并定义功率谱密度为频域的连续函数。功率谱的方法由于概念清晰和并且线性结构多激励等数学的解决得到了比较广泛的运用，其基于频谱方法的激励与响应反映地震频率成分和结构动力的特性，能够计算可靠度，很好的的补充确定性分析的缺点。因此，国内外少学者相续提出了不少功率谱密度曲线模型和功率谱估计的方法。首先提出的是在整个频域内能量均匀分布的白噪声模型。随后巴尔斯坦、金井清和田治洪分别提出的过滤白噪声模型，将地表土层看做是滤波器，并假定功率谱为经过土层过滤的白噪声，随后我国学者提出双过滤白噪声，它们的参数跟土层的特征周期和阻尼比相关。这些功率谱密度模型理论上对于线性和非线性都可以用，但是由于目前非线性求解方法的计算难度大，大部分功率谱密度模型无法适应。其他方法还包括，等效线性化法和等效非线性法、FPK方程法、摄动法、矩函数截断法、随机平均法等[6、7]。等效线性化法将由Caughey提出，转化策略是使非线性系统与线性系统在随机激励下平均误差最小，求解问题归结为求解扩阶的Lyapunov方程，求解困难。我国学者林家浩首创的虚拟激励法[8]简化了计算，特别是多自由度计算效率很高，但是外激励仅限于白噪声或过滤白噪声。FPK方程式非线性振动分析最严密的方法，但是求解条件苛刻能解决问题不多，基本局限于单自由度；矩函数截断法基于响应为高斯分布的假设来求解非线性系统的反应矩，但是计算复杂难以推广。这些方法都面临计算复杂，计算成本高，多自由度计算困难等等问题，不能领人满意。另外，Monte Carlo数值模拟法由于计算特别费时，极少被直接运用而是检验的手段。

3.volterra级数及非线性动力学运用

对于非线性系统动力响应，上述方法都并不令人满意，不少学者将目光转向了数学领域。至上世纪初，Volterra首次提出了将一阶线性积分向多维进行了扩展，即volterra级数。从泛函的角度上看，可以认为volterra级数是泰勒级数的广义形式。1959年MIT学者Geoge，提出了非线性频率响应函数的概念，并将各阶次Volterra级数核函数的多维傅里叶变换定义为广义频率响应函数（GFRF）。Barrett最早引入了到非线性动力微分方程的求解。volterra级数的各阶核函数与激励无关，时域核和频域核分别表示各阶脉冲响应函数和频率响应函数，具有明确的物理意义。由此引入volterra级数的非线性振动理论开启了新篇章。Rice和 Bedrosian研究了谐波和高斯噪声下的Volterra系统的非线性频响函数[9]；Bussagan和他的同事将该方法推广到多激励系统研究[10]；Z.K.Peng等学者研究了多自由度多个非线性变量的Volterra级数的频响函数[11]；Billings和Peyton提出一种基于谐波探测的递推方法来计算给定动力方程的非线性系统广义频响函数并推广到多自由度[12、13]。S.A.Billing与其合作者首创性的提出NARMAX离散时间模型[14、15]，该方法相较与Volterra级数的降低了参数辨识量，不少学者对其大量研究，并且这种方法可以对黑箱系统辨识为提供非线性系统辨识了方便；Wael Suleiman提出基于梯度下降法有限自由度非线性系统volterra级数的在线辨识新方法[16]。随着volterra级数理论在非线性动力系统。这些研究为volterra级数对实际工程的运用打下基础，文献[17]运用volterra级数研究了汽车里的Monroe-McPherson支撑缓冲器，并取得了理想结果。S.A.Billing运用NARMAX模型对描述波浪力的莫里森方程进行辨识，并运用辨识结果推出了相应volterra的频率核函数[18]。特别的，根据Weierstrass逼近理论，在封闭有界限区间上，任何连续函数都能用多项式函数对其进行任意精度的逼近，实际中大部分非线性系统都能用光滑非线性微分方程[19]来表示，扩展了volterra级数的运用范围，只有求出该方程根据谐波探测法能轻易求出volterra级数。至今，经过各界学者共同努力，双线性模型、Ramberg-Osgood模型等迟滞系统的volterra/wiener核函数辨识方法得到大量研究并发展[20]。即使是比较复杂的迟滞模型，如Bouc-wen辅助微分模型，虽然尚未求出相应volterra级数核函数，但是单自由度NARX模型辨识得到了较理想结果[21]。文献[22]推导了多芬非线性系统的功率谱理论解，并进行数值模拟，文中还利用volterra级数对简单钢桥模型进行非线性检测。

4.展望

通过对桥梁非线性动力响应方法的回顾，可以看出非线性动力时程方法计算结果比较准确且软件实现容易，但是时域方法无法看出结构动力特性。对于确定性方法无论是时域分析还是频域分析都忽略了地震荷载的随性性和不可重复性，对桥梁工程抗震的指导意义并不完善。而现有的随机方法假设较多，条件要求苛刻，可用随机激励模型少，并且都面临着计算比较困难，特别对于多自由度计算结果不理想。volterra级数运用于非线性系统理论虽然有很多问题尚未解决，如收敛性问题，但是其核函数在时域和频域分别具有高阶脉冲响应函数和高阶频率响应函数的物理意义，剔除了不同激励对非线性结构的影响，反应了系统的非线性动力特性，理论上能够适应于各种求解方法和目标，特别是非线性频响函数扩展了功率谱在非线性系统的运用，为工程抗震带来很大的意义。因此，将volterra级数运用于桥梁结构抗震分析具有广阔的前景和价值。然而为了能顺利将volterra级数引入桥梁非线性动力响应，首先要解决一下几个问题：

（1）比较复杂的迟滞模型的volterra核函数求解。比如反应材料屈服、支座摩擦等的迟滞模型往往含有绝对值、三角函数或是反应出强烈的非多项式非线性特征。

（2）volterra级数对多激励多响应系统的完善和简化。因为桥梁结构的特殊性，常常因为场地效益、行波效益等使得各桥墩激励不同或是存在时间差的地震力，并且需要同时响应多处目标响应；

（3）volterra级数多自由度功率谱的计算。

这些问题的解决，能够用volterra级数非线性模型引入桥梁抗震验算方法就进行计算，从而为桥梁抗震验算提供更多的信息，为工程实际提供可贵的指导。

参考文献

[1] 邹中权.桥梁结构抗震性能概率性分析方法研究[D].2010中南大学博士论文

[2] 翟长海、公茂盛、张茂花.工程结构等延性地震抗力谱研究[J].地震工程与工程振动，2004.1.

[3] 公茂盛、翟长海、谢礼立.非弹性反应谱衰减规律研究[J].哈尔滨工业大学学，2006.5.

[4] 王丰、李宏男、伊廷华.双向地震作用下等延性强度折减系数反应谱研究[J].振动工程学报，2009.2.

[5] 袁万城、杨俊、冯清海.能力谱方法在梁桥抗震性能评估中的比较研究[J].地震工程与工程振动，2008.6.

[6] 朱位秋.随机振动[M].北京：科学出版社，1992.

[7] 庄表中、陈乃立、高瞻.非线性随机振动理论及应用[M].杭州：浙江大学出版社.

[8] 林家浩、张亚辉.随机振动的虚拟激励法[M].北京：科学出版社，2004.

[9] Bedrosian E，Rice S.O.The output properties of Volterra system（nonlinearn systems with memory）driven by harmonic and Gaussian input[J].Proceedings of the IEEE，1971，59，1688-1707

[10] Bussgang J.J.，Ehrman L.，Graham J.W.Anslysis of nonlinear systems with multiple input[J]. Proceedings of the IEEE，1974，37，113-136

[11] Z.K.Peng，Z.Q.Lang， S.A.Billings.Non-lineat output frequence response function of MDOF systems with multiple non-linear components[J].Non-linear Mechanlics.2007，42

[12] Billings S.A.，Peyton Jones J.C..Mapping nonlinear integro-differential equations into the frequency domain[J].Interational Journal of Control，1990，52，863-879

[13] Swain A.K.Billings S.A..Generalized frequency response function matrix for MIMO non-linear systems[J]. Journal of Control，2001，74（Compendex）：829-844

[14] Chen Q and Billings S.A..Representations of non-lieat systems：the NARMAX model[J]Control，1989，49

[15] Chen Q and Tomlinson G R，A new type of time series model for the identification of nonlinear dynamical systems.Sound Vibration.1998，3

[16] Wael Suleiman.Andre Monin.New method for identifying finite degree Volterra series.Automatica.2008，44

[17] Caffety S.Characterisation of automotive shock absorbers using time and frequency domain techniques PHD Thesis School of Engineering，University of Manchester.1996

[18] Swain A.K.Billings S.A..Accurate prediction of non-linear wave forces，Part I.Mechanical Systems and Signal Processing.1998，12（3）

[19] Zhang.H.，Billings S.A..Analysing non-linear systems in the frequency domain，PartI：The transfer function. Mechanical Systems and Signal Processing.1993，7

[20] Paisarn Muneesawang，Ling Guan.Adaptive Nonlinear System Indentification： The Volterra and Wiener Model Approaches.2006

[21] K.worden and R.J.Barthorpe.Topics in Model Validation and Uncertainty Quantification[M]， Volume 4 ，2012

[22] 程長明.Volterra级数理论及其应用研究[D].上海交通大学硕士论文