基于盒维数和信息维数的调制识别算法*

职荣豪

（北京工业大学，北京 100022）

0 引 言

数字通信调制信号在传播过程中很容易受到各种噪声的干扰，信噪比可能在几到几十分贝之间不断变化。为了最大程度表征通信信号调制识别特征类间差别的模式信息，且随信噪比的变化要最小程度影响同一类别特征的分散。从时频域提取的特征对噪声较敏感，而在信噪比未知的情况下，传统的分类识别能力很难得到改善。因此，在实际工程应用中，需要寻找满足上述要求的特征，而复杂度就是一种能够满足这些要求的特征[1]。关于复杂度的定量描述，分形维数很在一定程度上反映并体现了整体系统的特征与信息。分形维数定量描述了信号的变换特征。

1 分形特征参数

1.1 分形特征提取

分形是对没有特征长度（特征长度是值所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者）但具有一定意义的自相似图形结构的总称，也可以被看做是具有下列性质的集合[2]：

（1）具有精细结构，及在任意小的比例尺度内包含整体；

（2）不规则的，不能用传统的几何语言来描述；

（3）通常具有某种自似性，或许是近似的，或许是统计意义下的；

（4）在某种方式下定义的“分维数”通常大于它的拓扑维数；

（5）定义常常非常简单，或许是递归的[3]。

分形维数可定量描述分型集合的复杂性。分形维数的定义与欧式几何学维数的定义不同。它是与应用相关的，随着应用的不同，其分形维数的定义也不同。在调制方式识别领域，常用盒维数与信息维数。其中，盒维数反映了分型集合的集合尺度情况，信息维度反映出分型集合在分布上的信息。

1.1.1 盒维数

设f为定义在R的闭集T上的连续函数，F为R2上的集合：

如果：

存在，则称DB(f)为函数f的盒维数[4]。

实际计算中，对于数字化离散空间信号点集合F的分型维数有如下简单的计算式。

设计算的采样序列为f(t1), f(t2),…, f(tN), f(tN+1),，其中N为偶数。令：

其中，λ=1/fs为样本间隔，fs为采样率，那么：

从盒维数定义可以看出，盒维数只表示F的集合尺度情况，没有反映F在平面空间上的分布疏密。为了反映分星级在区域空间上的分布信息，引入信息维数。

1.1.2 信息维数

在盒维数的定义中，分形F的维数与覆盖F的盒子有关，至于每个盒子中包含多少个F的点并未考虑。分形盒维数只能反映分形的几何尺度情况，不反映F在平面空间上的分布疏密，而信息维数能做到这一点[5]。

设{Aj}( j=1,2,…,K)是集合F的一个有限ε-格形覆盖，pj表示F的元素落在集合Aj中的概率。令信息熵：

如果信息熵满足以下关系：

则称DI(f)为集合F的信息维数[6]。

实际计算时，可通过式（9）得到信息维数：

其中，λ=1/fs为样本间隔，fs为采样率。

1.1.3 特征提取

为了表述方便，盒维数定义重新表示如下：

集合F的信息维数表示如下：

信息熵与信息维数之间的关系为：

由盒维数和信息维数组成的特征向量可表示为：

通信信号的不规则程度主要取决于调制类型，而受噪声影响较小。这一特点体现为分形特征在一定信噪比范围内对噪声不敏感。

1.2 分形维数特征的抗噪性能

假设时刻i的接收信号f(ti)=si+ni，信号si与噪声ni相互独立，不同时刻的噪声相互独立并服从高斯分布，ni～N(0,σ2/2)，则 ni-ni+1仍为高斯分布，ni-ni+1～N(0,σ2)。平面上的波形点 (tj, f(tj))落在 ε- 网格覆盖Ai的概率为：

其中，H(·)是阶跃函数。令 μ=si-sj，则 si-sj+ni-nj的分布服从 N(μ,σ2)，令 y=|si-sj+ni-nj|，则 y 的密度函数为：

y的均值是：

为了直观地说明E(y)随μ/δ的变换规律，表1列出E(y)在不同μ/δ的值。

表1 E(y)在不同μ/δ的值

一般来说，噪声干扰相对通信信号较小，μ＞δ成立，exp(-m2)随m增大很快衰减到0。由表1可知，y的近似值为：

又有：

所以：

这说明从统计上看，噪声对Ni(ε)的值影响较小，那么点(tj, f(tj))落在Ai中的个数可表示为：

其中，Ni(ε)是 (t,sj)落在 Ai中的个数，σi(ε)是一个微小的扰动。

把式（22）带入式（12），得：

因此，通信信号的不规则程度主要取决于调制类型，而噪声对之影响较小，反映到分形特征上，即在一定信噪比范围内分性特征对噪声不敏感。

1.3 识别算法流程

将收到的信号变换成一个特征向量，而分类识别的任务是把特征向量归入一个调制类别中。特征提取和分类是相辅相成的。如果特征向量集中了在不同类别中有明显区别的信息和分类识别的重要信息，那么仅依靠特征的聚类就可以获得很好的识别效果，同时大大降低了分类器设计和训练的工作量。

在此假设有5类调制方式。在一定SNR范围中，利用训练集对每种调制类型的特征向量可估计出它的均值向量mc和协方差矩阵Kc，序对(mc,Kc)作为c类的重心。对于一个未知类别的特征向量I，它与每一类的类间距离可定义为：

按照上述算法描述，基于盒维数和信息维数的调制识别算法流程如图1所示。

图1 基于盒维数与信息维数的算法流程

1.4 实验与分析

在此选择未调载波CW，已调载波2FSK、4FSK、2PSK、4PSK共5中信号类型，信号中频为10 kHz，取样频率为40 kHz。4种已调信号码元速率1 200 bit/s，载频为20 MHz，其中2FSK和4FSK信号的频移分别为5 kHz、5 kHz。对每一类信号都在5～20 dB的信噪比范围内每隔5 dB产生1 024个样本300个，其中100作为分类器的训练集，200个作为测试集。因此，每一类共有训练特征向量400个。均值向量mc和协方差矩阵Kc由这400个向量估计获得。

各类盒维数与信息维数的均值和方差计算结果如表2所示。可以看出，各类信号特征向量均值表明它在特征空间中心位置与其他类相分离，较小的方差也说明在中心点处聚集程度很高。

表2 各类信号分维的均值与方差

表3 识别率结果

根据给出的分类方法分别对2FSK、4FSK、2PSK、4PSK四类信号进行识别测试。经过大量测试（各200次），得出各个信号识别率（进行100次实验，如果90次识别结果为正确，则识别率为90%）如表3所示，并绘制出识别率曲线如图2所示。从图1中可以看出，在整个信噪比变化范围内，信号识别率都较高（均在0.95以上）。因此，该识别算法受信噪比的影响较小。虽然该算法在低信噪比下识别率较高，但算法时间为秒级，算法的实时性还需进一步研究加以提升。

图2 算法识别率结果曲线

该算法与基于瞬时特征提取的调制识别算法[7]识别效果对比结果（低信噪比下）如图3所示。可见，该算法识别率在低信噪比下明显优于传统算法。

图3 识别率对比

2 结 语

本文分析并研究分形理论在信号处理领域的应用，提出一种基于盒维数与信息维数的调制模式识别算法。算法从直观的波形出发，应用分形理论提取反映信号图形不规则度作为特征量进行信号的模式识别，提高其在低信噪比下的识别率，且模拟结果证实了此方法的可行性。