欧拉积分余元公式的证明及应用

熊骏

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

1 欧拉积分的余元公式

欧拉积分是《数学分析》[1～3]中含参量反常积分中的一种，包括伽马函数与贝塔函数，其表达式分别为:

通过变量代换可得到贝塔函数的另外2种表达式:

欧拉积分都在定义域内内闭一致收敛，具有很好的性质，如在定义域内连续、可导等。由变量代换及分部积分法可以得到它们的性质及递推公式：

Γ(s+1)=sΓ(s) (s>0)

Γ(1)=1Γ(n+1)=n!

Β(p,q)=Β(q,p) (p>0,q>0)

伽马函数与贝塔函数的关系式如下：

欧拉积分的余元公式[4]为：

下面，笔者结合幂级数与傅里叶级数及复变函数中的留数给出余元公式的2种证明。

2 余元公式的证明

2.1 第1种证明

由：

当0

从而：

即：

(1)

下面考虑将cosπx在[-α,α]上进行傅里叶级数展开，首先将其周期延拓为周期为2α的周期函数。又cosπx在[-α,α]为偶函数，其傅里叶级数为余弦级数，且傅里叶系数为：

由傅里叶级数的收敛定理有：

特别地，取x=0得到：

化简得：

(2)

比较式(1)和式(2)可得余元公式：

2.2 第2种证明

由：

(3)

而：

且：

由式(3)，令R→+∞，ε→0得：

即：

3 余元公式的应用

于是：

由余元公式有：

注:n=4,m=1时即为例1。

解这是含有瑕点a,b的反常积分，由于：

由柯西判别法知,该反常积分收敛。

令x=a+t(b-a),则dx=(b-a)dt,当x=a时t=0,当x=b时t=1。于是：

4 结语

余元公式是欧拉积分的一个重要公式,其证明还有许多方法，其应用也非常广泛。由于伽马函数可以延拓,因此还可以研究更一般情况下的余元公式。