分数阶非线性Schrödinger方程组 非平凡基态解的存在性

段雪亮, 魏公明

(上海理工大学 理学院, 上海 200093)

1 引言与主要结果

非线性Schrödinger方程可用于描述脉冲在非线性光学纤维中的传播. 目前, 关于非线性Schrödinger方程非平凡基态解存在性的研究已有很多结果[1-7]. 本文考虑如下方程组的非平凡解:

(1)

其中:x∈N;u,v∈Hs(N);s∈(0,1);α>0;N≥3; 2<2q<2*,(-Δ)s是分数阶Laplace算子[8], 其表示形式为

方程组(1)中F(u,v)∈C1(2), 且满足下列条件:

(H1) 存在常数A,B>0, 使得对每对(u,v)∈2,F满足:

(H2)F(u,0)=F(0,v)=0, 如果uv≠0, 则F(u,v)>0;

(H3) 对于常数2≤μ≤2q, 有Fu(u,v)u+Fv(u,v)v-μF(u,v)>0.

方程组(1)中b(x)∈L∞(N), 且满足下列条件:

本文使用变分法找到方程组(1)的非平凡解. 为方便, 定义如下Hilbert空间:

其中Lp(N)的范数表示形式为‖·‖p, ‖·‖表示Hs(N)的范数, 即

Lp(N)×Lp(N)的范数表示为

方程组(1)对应的泛函I:E→表示为

其中I∈C1(E,). 定义Nehari流形为

N∶={ω∈E{0,0}: 〈I′(ω),ω〉=0}.

泛函I(ω)的微分形式为

本文主要结果如下:

(2)

则问题(1)存在一个最小能量解ω=(u,v),u,v均不恒为0. 这里

2 预备知识

显然, 泛函I(ω)的临界点即为方程组(1)的弱解. 定义如下形式的辅助泛函：

(3)

其中:

定义

引理1cN=c1=c,cN∞=c1∞=c∞.

证明： 参见文献[7]中引理3.2.

引理2I∞(u,v)的每个临界点都满足分数阶Laplace算子对应的Pohozaev恒等式:

证明: 关于分数阶Laplace算子对应的Pohozaev恒等式的证明可参见文献[9]. 对于方程组(1)在b(x)=b∞条件下的Pohozaev恒等式, 需将其中两个等式视为独立的公式, 由文献[10]中式(5.15)可得

(5)

根据文献[10]中式(5.13), 有

将式(5)和式(6)相加, 可得式(4), 证毕.

3 主要结果的证明

3.1 定理1的证明

对条件(H1)进行积分, 再利用条件(H2)和Young不等式, 可得

其中C2,C3>0是一个常数. 因此存在常数C>0, 使得

(7)

同理, 利用条件(H1)可知存在常数A,B>0, 使得

(8)

由式(7)和分数阶Sobolev嵌入定理[8]知, 存在C4>0, 使得

结合条件(H2)可知, (0,0)是I的一个严格局部极小值,

当t→+∞时,I(tω)→-∞. 因此I满足山路引理的几何条件. 下面分3步证明.

1)I∞(ω)存在基态解ω=(u,v)≠(0,0).

观察泛函I∞(tω), 有

满足山路引理的几何条件, 且(0,0)是一个严格的局部极小值,I∞(0,0)=0. 应用Ekeland变分原理[11]可知, 存在序列ωn=(un,vn), 使得

(ωn)→0.

(9)

结合条件(H3), 可得

∀k∈.

(10)

矛盾. 因此式(10)成立.

定义

(11)

再由式(10)可得

(12)

2) 根据文献[13], 只需证I存在一个非平凡的临界点ω, 使得I(ω)≤c.

泛函I满足山路引理的几何条件, 且(0,0)是一个严格的局部极小值,I(0,0)=0. 应用Ekeland变分原理可知, 存在序列ωn=(un,vn), 使得

I(ωn)→c,c>0,I′(ωn)→0.

(13)

于是(u,v)是I的临界点. 下面证(u,v)是非平凡的. 假设(u,v)=(0,0), (un,vn)是一个临界水平为c的Palais-Smale序列, 则当n→∞时, 有

因此(u,v)≐(0,0)的情形与1)相同.

(15)

且

其中γ∈C([0,∞],E). 由式(4)可得

I(γL(t))

矛盾. 因此(u,v)是I的非平凡临界点. 由条件(H2)和(H3), 结合Fatou引理可得

3) 存在u,v均不恒为0, 且u,v≥0是I的最小能量临界点.

采用与文献[13]中定理4.5类似的方法证明. 定义m=inf{I(ω):ω≠(0,0),I′(ω)=0}. 取I的临界点ω, 由条件(H2)和(H3), 得

因此m≥0. 取非平凡解ω为临界水平是c的Palais-Smale序列的弱极限, 由2)可得I(ω)≤c, 所以m≤c.

为证m可以取到, 取ωk为I临界点的一个序列, 使得I(ωk)→m. 从而ωk是I在临界水平为m时的一个Palais-Smale序列. 同理可得ωk有界, 且存在I的非平凡临界点ω, 使得I(ω)≤m, 又因为m是最小临界水平, 所以I(ω)=m. 证毕.

3.2 定理2的证明

对每个ω∈E, 利用条件(H4)可推出I(ω)

1)I∞(ω)存在最小能量临界点ω=(u,v),u,v均不恒为0.

(-Δ)su+u=u2q-1,u>0,u∈Hs(N).

(17)

(-Δ)sv+α2sv=v2q-1,v>0,v∈Hs(N).

(18)

(19)

由于u0和v0是方程(17)和方程(18)的解, 所以

(20)

通过Pohozaev恒等式, 可得

(21)

同理,

(22)

对式(21),(22)运算可得

(23)

(24)

结合式(20),(23),(24), 定义

结合式(19), 只需找到(φ,ψ)∈E,φ,ψ均不恒为0, 使得

(27)

(28)

由式(28)可得g的临界点

定义

下面对α分两种情形讨论.

c∞≤J(φ,ψ)≤I∞(u0,0)=C.

(30)

由式(20),(26),(29), 可得

因此J(v0,v0)≤C.

②α<1. 则min{C,α2qs/(q-1)-NC}=α2qs/(q-1)-NC. 只需找到一对(φ,ψ),φ,ψ均不恒为0, 使得

c∞≤J(φ,ψ)≤I∞(0,v0)=α2qs/(q-1)-NC.

(33)

选择(φ,ψ)=(u0,u0), 利用式(23),(25), 可得

由式(20),(25),(29), 可得

因此J(u0,u0)≤Cα2qs/(q-1)-N.

2) 方程组(1)存在一个最小能量解ω=(u,v),u,v均不恒为0.

根据1), 可找到一对基态解(u∞,v∞), 使得

c∞=I∞(u∞,v∞)

(36)

由定理1知, 存在(u,v)≠(0,0), 使得其为I在临界水平为c时的非平凡临界点, 再根据c