ρ-混合序列完全矩收敛的精确渐近性

谭希丽, 孙佩宇

(北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

1 引言与主要结果

定义1[1]对于随机变量序列{Xn,n≥1}, 如果

ρ-(s)=sup{ρ-(S,T):S,T⊂, dist(S,T)≥s}→0,s→∞,

则称其为ρ-混合序列. 其中

C表示按坐标单调递增函数的全体.

ρ-混合序列是比独立随机变量序列、 NA(negatively associated)随机变量序列和ρ混合序列更广泛的随机变量序列, 目前已取得许多研究成果. 例如: 刘筱平等[2]研究了ρ-混合序列的完全收敛性; 谭希丽等研究了ρ-混合序列部分和的几乎处处中心极限定理[3]， 给出了ρ-混合序列的Chover型重对数律[4], 并进一步研究了ρ-混合随机变量序列加权和的完全收敛性质[5]. 另一方面， 自Hsu等[6]提出完全收敛的概念后, 完全收敛的精确渐近性理论得到广泛关注, Jiang等[7]得到了独立同分布随机变量序列的部分和在对数律下的完全收敛的精确渐近性; 张亚运等[8]研究了ρ混合序列的重对数律矩收敛的精确渐近性; 文献[9-10]研究了NA序列的完全收敛的精确渐近性.

其中N表示标准正态随机变量.

(1)

其中N表示标准正态随机变量.

2 定理2的证明

则有

引理2[3]设{Xn,n≥1}是一列ρ-混合随机变量, 且

则存在一个正的常数C=C(q,ρ-(·))(C只依赖于q和ρ-(·)), 有

命题1对任意的M>4, 有

证明: 易见

其中

由引理1知, 当n→∞时,Δn→0. 故当b>d-1时, 由Toeplitz引理及

可得

(3)

从而当ε→0时,b(ε)→∞, 在式(3)中取m=[b(ε)], 则有

下面估计I2, 易见

对于I3, 取t≥2, 由Markov不等式、 引理2和Toepliz引理有

类似可证当ε→0时,I4→0. 从而由式(5),I2→0, 并结合(2),(4), 命题1得证.

命题2在定理2的条件下, 有

证明: 易见

下面证明定理2. 由于

由命题1～命题3及三角不等式可知

又由命题4可知

从而式(1)成立.