Bochner Kaehler流形中子流形的 Casorati曲率不等式

刘旭东, 蔡丹丹, 张 量

(安徽师范大学 数学与统计学院, 安徽 芜湖 241003)

在子流形几何中, 文献[1]提出了建立内蕴不变量与外在不变量之间关系的问题. 为了解决该问题, 文献[2-3]引入了一系列新的内蕴不变量, 称为δ-不变量, 并对实空间形式中的子流形建立了δ-不变量与外在不变量之间的不等式. 与δ-不变量有关的几何不等式称为Chen型不等式, 文献[4-7]对赋予不同结构的各种外围空间的各类子流形建立了Chen型不等式.

本文对Bochner Kaehler流形中的子流形建立两个关于广义标准δ-Casorati曲率的不等式, 并讨论其等号成立的条件. 不同于文献[10-12,16-17]的分析学方法, 本文利用一个较一般的代数不等式给出结果的证明, 且该不等式能推广目前已有证明Casorati曲率不等式的一些代数不等式[13-14].

1 预备知识

这里:X,Y为M上的任意切向量场;h,⊥,Aξ分别表示M的第二基本形式、 法联络和形状算子, 其中第二基本形式和形状算子关系如下:

g(h(X,Y),ξ)=g(AξX,Y).

(3)

(4)

其中:

(6)

(7)

L(Y,Z)=L(Z,Y),L(Y,Z)=L(JY,JZ),L(Y,JZ)=-L(JY,Z),

(8)

式中Ric和τ分别表示M的Ricci曲率张量和数量曲率.

A,B,C,…=1,2,…,2m;i,j,k,…=1,2,…,n;α,β,γ,…=n+1,n+2,…,2m.

对于任一X∈TpM, 设JX=PX+QX, 这里PX和QX分别表示JX的切分量和法分量, 则线性变换P:TpM→TpM的模长平方为

(9)

设π是TpM的一个平截面,K(π)表示M关于平截面π的截面曲率, 则数量曲率τ定义为

假设l为TpM的子空间(l≥2),e1,e2,…,el为l的一组标准正交基, 则l的Casorati曲率定义为

由文献[11]易证

引理1设f(x1,x2,…,xn)为n上的函数(n≥3), 定义为

其中a>n-2, 则f(x1,x2,…,xn)≥0, 且等号成立当且仅当

其中ε=x1+x2+…+xn.

证明: 通过计算, 有

另一方面, 利用Cauchy不等式, 有

(13)

等号成立当且仅当x1=x2=…=xn-1. 结合式(12)和式(13)可得

故f(x1,x2,…,xn)≥0, 等号成立当且仅当

2 主要结果

1) 当0

(14)

(15)

(16)

结合式(6)～(8), 对式(17)中i,j求和, 可得

(18)

整理得

(19)

再结合式(6)和式(19), 可得

或等价于

即

(21)

考虑函数:

不失一般性, 设l由e1,e2,…,en-1张成. 根据式(21), 式(22)可化为

从而

P≥0,

(24)

且等号成立当且仅当

(25)

根据式(10),(11), 可得如下推论:

1) 标准δ-Casorati曲率δc(n-1)满足

(26)

且式(26)等号成立当且仅当在合适的局部正交标架场{eA}下, 形状算子具有如下形式:

(27)

结合式(9)可得如下结论:

1) 当0

(28)

(29)

且式(28),(29)等号成立当且仅当在合适的局部正交标架场{eA}下, 形状算子形如式(16).

1) 当0

(30)

(31)

且式(30),(31)等号成立当且仅当在合适的局部正交标架场{eA}下, 形状算子形如式(16).

1) 当0

(32)

(33)

且式(32),(33)等号成立当且仅当在合适的局部正交标架场{eA}下, 形状算子形如式(16).

1) 当0

(34)

(35)

且式(34),(35)等号成立当且仅当在合适的局部正交标架场{eA}下, 形状算子形如式(16).