“鸡兔同笼”的一题多解

摘 要：《孙子算经》中鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”这个问题有各种各样的解法，本文以人教版小学数学四年级下册中第九章数学广角的鸡兔同笼例题为例，运用“盈不足术”、画图法、列表法、假设法和方程法来解决这个问题。

关键词：“鸡兔同笼”；一题多解；“盈不足术”

一、 一题多解

例：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

（一） “盈不足术”

《九章算术》中的“盈不足术”主要讲了以盈亏问题为中心的一种双假设算法。例题可用这种方法计算。如：

假设鸡有2只，则兔有6只，一共有2×2+6×4=28只脚，多了2只脚；若设鸡有4只，兔4只，则脚共有4×2+4×4=24只，少了2只脚。

把第一次设的鸡只数记为a1，脚盈部分记为b1；把第二次设的鸡只数记为a2，脚亏部分记为b2，则可算出鸡有a2b2+a2b2b2+b2=2×2+4×22+2只，兔有8-3=5只。

（二） 画图法

在数学学习中，提倡数形结合的数学方法，然而画图法正是数形结合很好体现。解法如下：

圆表示头，

竖杠表示脚，两条竖杠就是鸡，四条竖杠就是兔。题目中说有8个头，那第一步先画8个圆；第二步就是分腿了，每个头分两条腿，剩余的再刚才的基础上再分多两条腿，即一个圆带四条竖杠的就是兔子。

通过画图，可以直观看出兔子有5只，鸡有3只。

（三） 列表法

通过列表解决问题，也就是把符合问题的所有可能答案一个个列出来，并用表格进行整理。解如下：

鸡和兔一共8个头，所以当鸡8只，则兔0只；当鸡7只，则兔1只……由此可以列出下表：

鸡876543210

兔012345678

脚161820222426283032

通过列表，可以看出鸡兔共26只脚时，鸡有3只，兔有5只。

（四） 假设法

假设法是根据题目中给出已知条件或结论作出某种假设，把复杂的问题简单化。根据例题解题思路如下：

假设笼子里全部都是鸡，先算出在假设条件下笼子里面一共有几只脚，再拿假设得到的脚数与题中给出的脚数相比，看差多少，因为鸡和兔相差两只脚，将所差的脚数除以二，就可以算出一共有多少只兔，最后算出有多少只鸡。

解：假设全是鸡，则共有脚：8×2=16（只）；

题目给的脚数与假设脚数的差：26-16=10（只）；

兔子个数：10÷2=5（只）；

鸡的个数：8-5=3（只）。

答：鸡有3只，兔有5只。

（五） 方程法

方程法把未知量设为字母，然后把字母作为已知量参与计算，最终得到等式的过程。所以根据题意方程法有两种：

1. 只含一个未知数

解：设鸡有x只，兔有（8-x）只，则鸡脚有2x只，兔脚有4（8-x）只。2x+4（8-x）=26，求得x=3，故鸡有3只；则兔有8-3=5（只）。

2. 未知数不止一个

解：设鸡有x只，兔有y只，则鸡脚有2x只，兔脚有4y只。

2x+4y=26

联立方程组得2y=10；最后解得y=5，x=3；所以鸡有3只，兔有5只。

二、 解题分析

根据上文的五种方法的介绍，可以发现数学问题解题的灵活多样性，第一种可以让学生深入学习数学文化，后面四种方法是层层递进的，有利于对学生高层次认知水平的培养。

“盈不足术”，对于低年级学生较为抽象，介绍这种方法可以让学生体会到古时候的人们也能有大智慧，使学生融入数学文化。

画图法：借助图形来解题对于年级小、认知水平较低的学生来说简单些，还能激发数学兴趣，并且有利于假设法的理解，但对于大数目题目时，画图就不切实际。

列表法：把符合问题的所有可能答案逐个列出来，并用表格进行整理。这种方法对于小数目的题目来说方便快捷，数字大了，就显得繁琐，还容易出错。

假设法：对于小学学生来说，较难理解，需要借助画图法，使题目呈现更直观，才能进一步理解。适用范围大，不会因为数目大小而受到限制。

方程法：通过一套流程来解题，但是要求用未知量来计算，对于小学生认知要求较高，需要把未知当已知来算。这种方法也是不受数目大小限制，解题方便快速。

解决“鸡兔同笼”问题，其实也是建立解题模型的问题，这个模型不仅仅局限在鸡和兔，可以把鸡和兔换成龜和鹤、单车和三轮车等。

参考文献：

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[2]周洪伟.“一题多解”对培养小学生发散思维作用的思考[J].中国校外教育，2012（19）：117.

[3]韩鹏.从“鸡兔同笼”问题看数学之美——浅议数学思想与解题策略[J].西藏教育，2017（10）：32-36.

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[5]刘徽注，李淳风.注释《九章算术》注[M].上海：古籍出版社，1990（09）：74- 75.

作者简介：

刘婉悦，广西壮族自治区桂林市，广西师范大学。