弧长概念与弧微分公式的教学探讨

王涛

摘 要 我们基于穷举法的思想介紹一种光滑曲线的弧长的严格定义并由此推导出弧微分公式， 从而帮助学生更好地理解并掌握相关的知识点.

关键词 弧长 弧微分 极限 穷举法

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.08.069

Abstract Based on the method of exhaustion， we introduce a rigorous definition of the arc length for smooth curves and then deduce the formula of arc differential， to help students understand and learn related knowledge points better.

Keywords arc length； arc differential； limit； method of exhaustion

3 结束语

更一般的连续曲线的长度的定义需要利用上确界的概念， [4]在非数学专业的微积分课程中往往没必要引入这部分内容。我们利用极限的概念在较短的篇幅里给出了弧长的定义， 毋需引入确界的概念， 同时很好地应用了拉格朗日定理和单调有界原理。这里给出的弧长定义利用了古代数学家们计算长度所用到的穷举法的思想， 所以通过本文可以帮助学生更好地理解抽象的定积分概念。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（上册）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014： 168-169，284-285.

[2] 武汉大学数学与统计学院.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3] Willian Dunham.微积分的历程[M].北京：人民邮电出版社，2010.

[4] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第1卷）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2005：245-250.